Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 122 стр.

gLAWA   VI.   aLGEBRA PRELIKATOW

 P4. eSLI DLQ NATURALXNYH ^ISEL x I y WERNO x0 = y0 , TO x = y.
 P5. eSLI Q ESTX SWOJSTWO, KOTORYM, BYTX MOVET, OBLADA@T ODNI I NE OBLADA@T DRUGIE NATU-
     RALXNYE ^ISLA, I ESLI
       1) 0 OBLADAET SWOJSTWOM Q
       2) DLQ L@BOGO NATURALXNOGO ^ISLA x, ESLI x OBLADAET SWOJSTWOM Q, TO I x0 OBLADAET Q
     TO SWOJSTWOM Q OBLADA@T WSE NATURALXNYE ^ISLA.
   aKSIOMU P5 NAZYWA@T PRINCIP INDUKCII. |TIH AKSIOM, WMESTE S NEKOTORYMI FRAGMENTOM
TEORII MNOVESTW DOSTATO^NO DLQ POSTROENIQ NE TOLXKO ARIFMETIKI NATURALXNYH ^ISEL, NO I
TEORII RACIONALXNYH, WE]ESTWENNYH I KOMPLEKSNYH ^ISEL (lANDAU, 1930).
   oDNAKO, W \TIH AKSIOMAH SODERVATSQ INTUITIWNYE PONQTIQ TAKIE, NAPRIMER, KAK \SWOJSTWO".
kROME TOGO, OTSUTSTWU@T PRAWILA WYWODA. wSE \TO GOWORIT O TOM, ^TO \TU SISTEMU NELXZQ S^ITATX
STROGOJ FORMALIZACIEJ.
   w \TOM PUNKTE POSTROIM NEKOTORU@ TEORI@ 1-GO PORQDKA S, OSNOWANNU@ NA SISTEME AKSIOM
pEANO, KOTORAQ OKAVETSQ, PO WSEJ WIDIMOSTI, DOSTATO^NOJ DLQ WYWODA WSEH OSNOWNYH REZULX-
TATOW \LEMENTARNOJ ARIFMETIKI. tEORIQ S IMEET: ODIN PREDIKATNYJ SIMWOL P12 | PREDIKAT
RAWENSTWA, KOTORYJ OPQTX BUDEM OBOZNA^ATX ZNAKOM = I ISPOLXZOWATX INFIKSNU@ ZAPISX ODNU
PREDMETNU@ POSTOQNNU@ a1 , KOTORU@ BUDEM OBOZNA^ATX SIMWOLOM 0 TRI FUNKCIONALXNYH SIM-
WOLA | ODNOMESTNYJ f11 I DWA DWUMESTNYH f12 I f22 , KOTORYE BUDEM OBOZNA^ATX KAK t0, t + s I t  s,
GDE t I s | PROIZWOLXNYE TERMY TEORII S.
sOBSTWENNYE AKSIOMY TEORII S.
 S1.   x1 = x2 ! (x1 = x3 ! x2 = x3 )
 S2.   x1 = x2 ! x01 = x02
 S3.   0 6= x01
 S4.   x01 = x02 ! x1 = x2
 S5.   x1 + 0 = x1
 S6.   x1 + x02 = (x1 + x2 )0
 S7.   x1  0 = 0
 S8.   x1  x02 = (x1  x2) + x1
       a(0) ! 8x(a(x) ! a(x0)) ! 8xa(x) , GDE a(x) 2 S
                ;                      

 S9.
   zAMETIM, ^TO AKSIOMY S1{S8 QWLQ@TSQ KONKRETNYMI FORMULAMI, A S9 PREDSTAWLQET SOBOJ SHE-
MU AKSIOM, PRI^EM S9 (PRINCIP MATEMATI^ESKOJ INDUKCII) NE SOOTWETSTWUET POLNOSTX@ AKSIOME
P5 SISTEMY pEANO, POSKOLXKU W P5 INTUITIWNO PREDPOLAGAETSQ KONTINUUM SWOJSTW NATURALXNYH
^ISEL, A S9 MOVET IMETX DELO LIX SO S^ETNYM MNOVESTWOM SWOJSTW, OPREDELQEMYH FORMULAMI
TEORII S.
   aKSIOMY S3 I S4 SOOTWETSTWU@T AKSIOMAM P3 I P4 SISTEMY AKSIOM pEANO. aKSIOMY P1 I P2
OBESPE^IWA@T SU]ESTWOWANIE NULQ I OPERACII \NEPOSREDSTWENNO SLEDU@]IJ", KOTORYM W TEO-
RII S SOOTWETSTWU@T PREDMETNAQ KONSTANTA a1 I FUNKCIONALXNYJ SIMWOL f11 . aKSIOMY S1 I S2
OBESPE^IWA@T NEOBHODIMYE SWOJSTWA RAWENSTWA, KOTORYE pEANO I dEDEKINDOM PREDPOLAGALISX
INTUITIWNO O^EWIDNYMI. aKSIOMY S5{S8 PREDSTAWLQ@T SOBOJ REKURSIWNYE RAWENSTWA, SLUVA-
]IE OPREDELENIQMI OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ. nIKAKIH POSTULATOW, SOOTWETSTWU@]IH
\TIM AKSIOMAM dEDEKIND I pEANO NE FORMULIROWALI, POTOMU ^TO ONI DOPUSKALI ISPOLXZOWANIE
INTUITIWNOJ TEORII MNOVESTW, W RAMKAH KOTOROJ MOVNO WYWESTI SU]ESTWOWANIE OPERACIJ  I +.
   s POMO]X@ PRAWILA WYWODA MP I AKSIOMY S9 MOVNO, NAPRIMER, POLU^ITX PROIZWODNOE PRA-
WILO WYWODA TEORII S: a(0)
 8x(a(x) ! a(x0 )) ` 8xa(x), KOTOROE NAZYWAETSQ PRAWILOM INDUKCII.
                                               122