Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 120 стр.

gLAWA   VI.   aLGEBRA PRELIKATOW

   1. a
 a ! b ` b | PRAWILO MP (Modus Ponens).
   2. a ` 8xi a | PRAWILO Gen (OBOB]ENIQ).
    zAMETIM, ^TO L@BAQ TEORIQ 1-GO PORQDKA SODERVIT IS^ISLENIE WYSKAZYWANIJ W KA^ESTWE POD-
TEORII. pO\TOMU MNOGIE SWOJSTWA I UTWERVDENIQ WERNYE DLQ IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ OSTA-
@TSQ PO FORME TAKIMI VE I W TEORIQH 1-GO PORQDKA. oDNAKO, NEKOTORYE SWOJSTWA OKAZYWA@TSQ
NEWERNYMI ILI TREBU@T UTO^NENIJ. nAPRIMER, TEOREMA DEDUKCII TAKVE IMEET MESTO W TEORIQH
1-GO PORQDKA, ODNAKO SO ZNA^ITELXNYMI DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI W FORMULIROWKE IS^ISLE-
NIE WYSKAZYWANIJ NEPROTIWORE^IWO I TAKIMI VE QWLQ@TSQ IS^ISLENIQ PREDIKATOW 1-GO PORQDKA
(SM. DALEE) IS^ISLENIE WYSKAZYWANIJ ESTX RAZREIMAQ TEORIQ, A L@BAQ TEORIQ PERWOGO PORQDKA
NERAZREIMA (SM. DALEE) I T. D.
pRIMER 1. nEPUSTOE MNOVESTWO S ZADANNOJ NA NEM BINARNOJ ASSOCIATIWNOJ OPERACIEJ NAZYWA-
ETSQ POLUGRUPPOJ. pOSTOIM TEORI@ PERWOGO PORQDKA, FORMALIZU@]U@ TEORI@ POLUGRUPP. iTAK,
FORMALXNAQ TEORIQ POLUGRUPP:
   1. pREDMETNYH POSTOQNNYH NE SODERVIT.
   2. sODERVIT ODNU PREDIKATNU@ PEREMENNU@ P12, KOTORAQ OBOZNA^AET PREDIKAT RAWENSTWA. dA-
      LEE, W ZAPISI FORMUL \TOJ TEORII WMESTO P12(x1
 x2) BUDEM PISATX x1 = x2 .
   3. sODERVIT ODIN FUNKCIONALXNYJ SIMWOL f12 , OBOZNA^A@]IJ OPERACI@ W POLUGRUPPE. dALEE,
      WMESTO f12 (x1
 x2) BUDEM ISPOLXZOWATX BOLEE PRIWY^NOE OBOZNA^ENIE x1  x2 .
    sOBSTWENNYE AKSIOMY TEORII POLUGRUPP (SHEMY LOGI^ESKIH AKSIOM WO WSEH TEORIQH 1-GO PO-
RQDKA ODINAKOWY):
   1. 8x1 (x1 = x1). |TA AKSIOMA USTANAWLIWAET REFLEKSIWNOSTX RAWENSTWA.
   2. 8x1 8x2(x1 = x2 ! x2 = x1). |TA AKSIOMA USTANAWLIWAET SIMMETRI^NOSTX RAWENSTWA.
   3. 8x1 8x28x3 x1 = x2 ! (x2 = x3 ! x1 = x3) . |TA AKSIOMA USTANAWLIWAET TRANZITIWNOSTX
                  ;                                      


      RAWENSTWA.
   4. 8x1 8x28x3 x1 = x2 ! (x3  x1 = x3  x2 & x1  x3 = x2  x3) . |TA AKSIOMA USTANAWLIWAET
                  ;                                                     


      SWOJSTWO PODSTANOWO^NOSTI RAWENSTWA. oTMETIM, ^TO SIMWOL & TRAKTUETSQ TAK VE KAK W
      IS^ISLENII WYSKAZYWANIJ.
   5. 8x1 8x28x3 x1  (x2  x3) = (x1  x2)  x3 . |TA AKSIOMA USTANAWLIWAET SWOJSTWO ASSOCIATIWNOSTI
                  ;                             


      OPERACII.
    sOBSTWENNYE AKSIOMY 1{3 FORMALIZU@T INTUITIWNO PONQTNYE SWOJSTWA RAWENSTWA I WKL@-
^A@TSQ W L@BU@ TEORI@ 1-GO PORQDKA, SODERVA]U@ PREDIKAT RAWENSTWA.
    eSLI W POLUGRUPPE WYPOLNQETSQ FORMULA 8x18x2(x1  x2 = x2  x1 ), TO ONA NAZYWAETSQ KOMMU-
TATIWNOJ. dOBAWLQQ \TU FORMULU W KA^ESTWE SOBSTWENNOJ AKSIOMY, POLU^IM TEORI@ KOMMUTA-
TIWNYH POLUGRUPP.
  5.4. oBLASTI INTERPRETACII I MODELI.
oPREDELENIE 1. pUSTX a FORMULA NEKOTOROJ TEORII GO PORQDKA  M NEKOTOROE MNO
                               |                             1-             ,    |                  -
VESTWO. eSLI DLQ KAVDOGO PREDIKATNOGO I FUNKCIONALXNOGO SIMWOLA NA M ZADANY SOOTWET-
STWU@]IE KONKRETNYE PREDIKATY I OPERACII, A KAVDOJ PREDMETNOJ POSTOQNNOJ POSTAWLEN
W SOOTWETSTWIE NEKOTORYJ \LEMENT MNOVESTWA M , TO M OBRATITSQ W NEKOTORU@ ALGEBRA-
I^ESKU@ SISTEMU (MNOVESTWO S ZADANNYMI NA NEM OPERACIQMI I PREDIKATAMI). |TA ALGEBRA-
I^ESKAQ SISTEMA NAZYWAETSQ OBLASTX@ INTERPRETACII FORMULY a TEORII  .
oPREDELENIE 2. mODELX@ TEORII GO PORQDKA  NAZYWAETSQ WSQKAQ OBLASTX INTERPRETACII
                                     1-
W KOTOROJ ISTINNY WSE AKSIOMY (LOGI^ESKIE I SOBSTWENNYE) TEORII  .

                                                120