Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 53 стр.

x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA

A a | (n ; k) RAZ. ~ISLO PROIZWEDENIJ W Bk RAWNO, O^EWIDNO, Cnk (TAKIM ^ISLOM SPOSOBOW SRE-
DI n MNOVITELEJ d1
 d2
 : : :
 dn MOVNO WYBRATX k MNOVITELEJ, KOTORYE BUDUT RAWNY b), A KAVDOE
SLAGAEMOE W Bk RAWNO an;k bk . pO\TOMU
                                                               n
                                                               X
                                               (a + b)n =             Cnk an;k bk :
                                                              k=0
tEOREMA DOKAZANA.
   |TU TEOREMU INOGDA NAZYWA@T BINOMIALXNOJ TEOREMOJ, A ^ISLA Cnk | BINOMIALXNYMI KO\F-
FICIENTAMI. rAWENSTWO (1) ^ASTO NAZYWA@T BINOMOM nX@TONA.
   nAPOMNIM SLEDU@]EE WAVNOE SWOJSTWO BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW:
                                                   Cnk+1 = Cnk + Cnk;1:                                    (2)
oNO BYLO USTANOWLENO W P. II.1.5.
   rAWENSTWO (2) POKAZYWAET, ^TO BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY MOVNO POSLEDOWATELXNO WYPI-
SYWATX W WIDE TREUGOLXNOJ TABLICY, KOTORAQ NAZYWAETSQ TREUGOLXNIKOM pASKALQ:
                                                    1        1                    n=1
                                              1 2 1                               n=2
                                             1 3     3 1                          n=3
                                            1 4 6 4 1                             n=4
                                           1 5 10 10 5 1                          n=5
                                                 :::
   w n-OJ STROKE TREUGOLXNIKA pASKALQ STOQT KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ (a + b)n, PRI^EM KAV-
DYJ KO\FFICIENT, KROME KRAJNIH DWUH, KOTORYE RAWNY 1, RAWEN SUMME SOOTWETSTWU@]IH KO\F-
FICIENTOW IZ PREDYDU]EJ STROKI.
    2.5. pOLINOMIALXNAQ TEOREMA. rASSMOTRIM WOPROS O TOM, KAK RASKRYWATX SKOBKI PRI
WY^ISLENII WYRAVENIQ WIDA
                                                  (a1 + a2 + : : : + ak )n :
  oTWET NA \TOT WOPROS DAET SLEDU@]AQ
tEOREMA 1. wYRAVENIE
                                              (a1 + a2 + : : : + ak )n
RAWNO SUMME WSEH WOZMOVNYH SLAGAEMYH WIDA
                                                 n!
                                                            ar1 ar2 : : :arkk 

                                           r1 !r2! : : :rk ! 1 2
GDE r1 + r2 + : : : + rk = n, TO ESTX
                                                         X                 n!
                     (a1 + a2 + : : : + ak )n =                                      ar1 ar2 : : :arkk :   (3)
                                                                    r1 !r2! : : :rk ! 1 2
                                                        r1 0
:::
rk 0
                                                        r1 +:::+rk =n
dOKAZATELXSTWO. pEREMNOVIM POSLEDOWATELXNO a1 +: : :+ak n RAZ. tOGDA POLU^IM kn SLAGAEMYH
WIDA d1 : : :dn, GDE KAVDYJ MNOVITELX di RAWEN ILI a1, ILI a2, : : :, ILI ak . oBOZNA^IM ^EREZ
B(r1 
 : : :
 rk ) SOWOKUPNOSTX WSEH TEH SLAGAEMYH, GDE a1 WSTRE^AETSQ MNOVITELEM r1 RAZ, a2 |
r2 RAZ, : : :, ak | rk RAZ. ~ISLO TAKIH SLAGAEMYH RAWNO Cn (r1
 : : :
 rk) (SM. P. II.2.2.). nO
                                                                           n!
                                            Cn(r1 
 : : :
 rk) =                       :
                                                                      r1!r2! : : :rk !

                                                                 53