ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Система элементарных делителей: {(λ − 4), (λ − 4)
2
}. Жорданова форма
J =
4 0 0
0 4 1
0 0 4
.
Векторы жорданова базиса f
1
, f
2
, f
3
удовлетворяют равенствам:
ϕ(f
1
) = 4f
1
ϕ(f
2
) = 4f
2
ϕ(f
3
) = f
2
+ 4f
3
(5.9)
Равенства (5.9) перепишем в форме
(ϕ − 4ε)f
1
= 0
(ϕ − 4ε)f
2
= 0
(ϕ − 4ε)f
3
= f
2
(5.10)
Векторы f
1
, f
2
– собственные векторы с собственными значением 2. Система
f
1
, f
2
является базисом в пространстве решений уравнения
(ϕ − 4ε)x =
12 −5 −2
16 −6 −4
−8 5 6
x
1
x
2
x
3
=
0
0
0
. (5.11)
Три уравнения системы (5.11) пропорциональны уравнению
12x
1
− 5x
2
− 2x
3
= 0. (5.12)
Ошибочно полагать, что в качестве f
1
, f
2
можно взять произвольный базис
в пространстве решений (5.11). Ведь у нас есть еще третье уравнение в (5.10),
которое при произвольном выборе f
2
может не иметь решения.
Заметим, что (5.10) вытекает, что (ϕ − 4ε)
2
– нулевой оператор. Поэтому
(ϕ − 4ε)
2
x = 0 для любого вектора x.
В качестве f
3
можно выбрать произвольный вектор, не удовлетворяющий
(5.12). Возьмём в качестве f
3
первый вектор стандартного базиса и найдём f
2
из (5.10):
f
3
=
1
0
0
, f
2
= (A − 4E)f
3
=
8
16
−8
Сделаем проверку: подставим набор (8, 16, −8) в (5.12) и убедимся, что
получается тождество. Это подтверждает, что вектор f
2
найден правильно.
19
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
