Дискретная математика. Кулаков Ю.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

e e c f a d b
f f d e b c a
Алгебра
〈
M,
×
, +
〉
, которая по умножению является мультипликативным группоидом, по
сложению – абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибу-
тивности
a
×
(b + c) = a
×
b + a
×
c,
(b + c)
×
a = b
×
a + c
×
a,
называется кольцом.
Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, на-
зывается телом.
Тело, у которого мультипликативная группа абелева, называется
полем.
Рассмотрим алгебру множеств (алгебру Кантора)
A
k
=
〈
B(1),
∪
,
∩
,
〉
,
носителем которой является булеан универсального множества 1, сигнатурой – операции объ-
единения
∪
, пересечения
∩
и дополнения .
Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:
– коммутативности объединения и пересечения
M
a
∪
M
b
= M
b
∪
M
a
, M
a
∩
M
b
= M
b
∩
M
a
;
– ассоциативности объединения и пересечения
M
a
∪
(M
b
∪
M
c
) = (M
a
∪
M
b
)
∪
M
c
,
M
a
∩
(M
b
∩
M
c
) = (M
a
∩
M
b
)
∩
M
c
;
– дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно
пересечения
M
a
∩
(M
b
∪
M
c
) = M
a
∩
M
b
∪
M
a
∩
M
c
,
M
a
∪
(M
b
∩
M
c
) = (M
a
∪
M
b
)
∩
(M
a
∪
M
c
);
– идемпотентности объединения и пересечения
M
a
∪
M
a
= M
a
, M
a
∩
M
a
= M
a
;
– действия с универсальным 1 и пустым
∅
множествами
M
∪
∅
= M, M
∩
∅
=
∅
, M
∪
1 = 1, M
∩
1 = M,
M
∪
M
= 1, M
∩
M
=
∅
;
– де-Моргана
,
baba
MMMM ∪=∩
baba
MMMM ∩=∪ ;
– двойного дополнения
M
= M.
Алгебра Кантора по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пе-
ресечения является абелевой полугруппой, так как для этих операций выполняются законы
коммутативности и ассоциативности, но она не является группой, поскольку уравнения M
a
∪
X
= M
b
, M
a
∩
X = M
b
не имеют решения, например для случая, когда множества не пересекают-
ся: M
a
∩
M
b
=
∅
. Следовательно, алгебра Кантора по двухместным операциям
∪
и
∩
не явля-
ется кольцом.

Страницы