Дискретная математика. Кулаков Ю.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ным элементом. Никакой группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.
Действительно, если
m
°
e = e
°
m = m и m
°
e' = e'
°
m = m
справедливо для
∀
m
∈
M, то
e' = e'
°
e = e.
Если группоид
〈
M,
°
〉
мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и
обозначается символом 1; если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и
обозначается символом 0.
Группоид А =
〈
M,
°
〉
называется идемпотентным, если его сигнатура удовлетворяет закону
идемпотентности
(
∀
m
∈
M) (m
°
m = m).
Группоид
〈
M,
°
〉
, сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности
(
∀
x, y
∈
M) (x
°
y = y
°
x),
называется коммутативным или абелевым.
Группоид
〈
M,
°
〉
, в котором выполняется закон ассоциативности
(
∀
x, y, z
∈
M) (x
°
(y
°
z) = (x
°
y)
°
z),
называется ассоциативным или полугруппой.
Полугруппа
〈
M,
°
〉
, в которой выполнимы обратные операции: для любых a, b
∈
M каждое
из уравнений a
°
x = b, y
°
a = b обладает единственным решением, называется группой.
Проиллюстрируем понятие группы на примере группы подстановок, содержащей шесть
элементов.
Рассмотрим три элемента: x
1
, x
2
, x
3
. Существует шесть перестановок из трех элементов:
x
1
x
2
x
3
, x
1
x
3
x
2
, x
2
x
1
x
3
, x
2
x
3
x
1
, x
3
x
1
x
2
, x
3
x
2
x
1
. Запишем две перестановки из трех элементов друг
под другом:
.
132
321
xxx
xxx
Эта запись означает, что x
1
переходит в x
2
, x
2
- в x
3
, x
3
- в x
1
.
Число возможных подстановок равно числу перестановок. Введем следующие обозначения
для шести возможных подстановок:
,,,
312
321
231
321
321
321
=
=
=
xxx
xxx
с
xxx
xxx
b
xxx
xxx
a
.,,
123
321
213
321
132
321
=
=
=
xxx
xxx
f
xxx
xxx
e
xxx
xxx
d
Введем операцию умножения над подстановками. Произведением подстановок называется
подстановка, получаемая в результате последовательного выполнения сначала первой, а затем
второй из перемножаемых подстановок. Например,
c
×
b =
312
321
xxx
xxx
×
231
321
xxx
xxx
=
213
321
xxx
xxx
= e.
Значение выражения
α
×
β
определяет табл. 1.
В рассматриваемой алгебре
〈
M,
×
〉
выполняется закон ассоциативности, но не выполняет-
ся закон коммутативности.
Таблица 1
β
α
a b c d e f
a a b c d e f
b b a d c f e
c c e a f b d
d d f b e a c

Страницы