Дискретная математика. Кулаков Ю.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 МНОЖЕСТВО, ФУНКЦИЯ, ОТОБРАЖЕНИЕ, ОПЕРАЦИЯ.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ
Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множе-
ства.
Множество – это объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуици-
ей или нашей мыслью. Такое определение понятия множества дал основатель теории мно-
жеств Кантор. Это понятие является в математике первичным и поэтому не имеет строго-
го определения, удовлетворяющего современным требованиям. Множества будем обозначать,
как правило, большими (прописными) буквами латинского алфавита. Объекты, которые обра-
зуют множество, называют элементами множества и обозначают малыми (строчными) бук-
вами латинского алфавита. Если элемент т принадлежит множеству М, то будем использо-
вать запись т
∈
М, в противном случае – запись т
∉
М.
Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если же мно-
жество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается
∅
.
Множество может быть задано различными способами: перечислением элементов (конеч-
ные множества) или указанием их свойств. При этом для задания множеств используют фи-
гурные скобки { }. Например, множество М цифр десятичного алфавита можно задать в виде
М = {0, 1, ..., 9} или М = {i / i – целое, 0
≤
i
≤
9}, где справа от наклонной черты указаны свойства
элементов этого множества. Множество М четных чисел можно записать в виде М = {т / т –
четное число}.
Множество М' называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда лю-
бой элемент множества М' принадлежит множеству М:
М'
⊂
М
↔
(т
∈
М'
→
т
∈
М),
где
⊂
– знак включения подмножества;
→
– «если..., то... »,
↔
– «тогда и только тогда, когда
...». В частности, множества М' и М могут совпадать.
Не включение М' в М обозначается так: М'
⊄
М.
Очевидно, что если множество М
а
– подмножество множества М
b
и множество М
b
–
подмножество множества М
а
, то оба этих множества состоят из одних и тех же элемен-
тов. Такие множества называют равными: М
а
= М
b
. Если же множество М' – подмножест-
во множества М, а множество М не является подмножеством множества М', то множест-
во М' называется собственным подмножеством множества М. Для обозначения этого факта
будем использовать двойной знак включения подмножеств
⊂
⊂
, т.е. писать М'
⊂
⊂
М.
Для каждого множества М существует множество, элементами которого являются под-
множества множества М и только они. Такое множество будем называть семейством мно-
жества М или булеаном этого множества и обозначать В(М), а множество М – универсаль-
ным, универсумом или пространством и обозначать 1.
Рассмотрим образование булеана В(1) от универсума 1 = {у, х, а}. Первым элементом явля-
ется пустое множество
∅
. Кроме этого в булеан войдут
1
1
[
1
1
– число сочетаний из |1| по
1] подмножеств универсума, содержащих по одному элементу, затем
2
1
подмножеств, со-
держащих по два элемента, ..., и, наконец, подмножество, содержащее все элементы множе-
ства 1. Здесь | М | – количество элементов конечного множества М, в дальнейшем называемое
мощностью множества.
Очевидно, что мощность | B(M) | булеана от универсума М равна 2
| М |
:
| B(M) | = 2
| М |
.
В рассматриваемом случае
В(1) = {
∅
, {у}, {х}, {а}, {у, х}, {а, х}, {а, у}, {у, х, а}}.
Множество также часто за-
дают графически с помощью диа-
граммы Эйлера. Например, зада-
ние множества {a, b, c} в про-
1
a
c
b
d
e

Страницы