ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
странстве 1 = = {a, b, c, d, e} при-
ведено на рис. 1, где замкнутая
линия, называемая кругом Эйле-
ра, соответствует рассматри-
ваемому множеству и ограничи-
вает его элементы. При этом
рамка, в верхнем правом углу ко-
торой стоит 1, ограничивает
элементы пространства. Другие
способы задания множеств будут
рассмотрены по мере необходи-
мости.
Рис. 1
Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения
множеств.
Декартовым произведением М
a
×
М
b
множеств М
a
и М
b
называется множество М вида
М = {(m
i
, m
j
)/ m
i
∈
М
a
, m
j
∈
М
b
}.
Здесь и далее круглыми скобками ( ) обозначается последовательность, т.е. множество, в ко-
тором зафиксирован порядок элементов.
Подмножество F
⊂
М
x
×
М
y
называется функцией, если для каждого элемента х
∈
М
x
най-
дется не более одного элемента у
∈
М
у
вида (х, у)
∈
F; при этом, если для каждого элемента х
имеется точно один элемент у вида (х, у)
∈
F, то функция называется всюду (полностью) оп-
ределенной, в противном случае – частично определенной (недоопределенной). Множество М
x
образует область определения функции F, множество М
y
– область значений функции F.
Часто вместо записи (х, у)
∈
F используют запись
у = F(х); при этом элемент х называют аргументом или переменной, а у – значением функции
F.
Функция y = F(x) называется сюръективной, если для каждого элемента y
∈
М
y
найдется
элемент х
∈
М
x
вида (х, у)
∈
F.
Полностью определенная функция y = F(x) называется также отображением (из) М
x
в М
y
, а
в случае, если она сюръективна, – отображением (из) М
x
на М
y
.
Имея дело с отображениями вместо y = F(x), часто пишут y = x
F
, а об элементах области
значений и области определения функции говорят, как об образах и прообразах соответствен-
но. Так элемент y
∈
М
y
называют образом элемента x при отображении F, а подмножество
{x/x
∈
M
x
}, для каждого из элементов которого существуют элементы (х, у)
∈
F, – прообразом
элемента у.
Декартову произведению двух множеств можно сопоставить прямоугольную решетку, узлы
которой взаимно однозначно отвечают элементам декартова произведения, а подмножество
декартова произведения на решетке отметить штриховкой соответствующих узлов.
На рис. 2, а изображено подмножество декартового произведения множеств М
х
={x
1
, x
2
, x
3
,
x
4
} и М
у
={у
1
, у
2
, у
3
}, не являющееся функцией; на рис. 2, б – являющееся полностью определен-
ной функцией и отображением (из) М
x
в М
y
; на рис. 2, в – полностью определенной функцией и
отображением (из) М
x
на М
y
; на рис. 2, г – частично определенной функцией.
x
4
x
3
x
2
x
1
F
y
1
y
2
y
3
x
4
x
3
x
2
x
1
F
y
1
y
2
y
3
x
4
x
3
x
2
x
1
F
y
1
y
2
y
3
x
4
x
3
x
2
x
1
F
y
1
y
2
y
3
а) б) в) г)
РИС.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »