Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ВВЕДЕНИЕ
Основу настоящего пособия составляет содержание курса лекций для студентов инженерно-технических специально-
стей, читаемых кафедрой «Прикладная математика и механика» Тамбовского государственного технического университета.
Целью пособия является помощь студентам в овладении элементами комплексного анализа и вероятностно-статистического
материала, необходимых в изучении специальных дисциплин и в их будущей профессиональной деятельности.
Отличие настоящего пособия от имеющихся учебных изданий состоит в том, что «под одной обложкой» собраны све-
дения из теории числовых и функциональных рядов действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и
математической статистики. Такой «синтез» не является искусственным: известно, что ряды – это средство исследований
счётных вероятностных пространств [1], некоторых специальных вероятностных распределений (например, геометрического
и пуассоновского); глубокие связи комплексного анализа, функциональных рядов и теории вероятностей наблюдаются в
эргодической теории [2], математической физике [3] и др. Настоящий подход, как представляется авторам, является совре-
менным и обеспечивает системность знаний, формирование у студентов представления о целостности математической науки
и универсальности её методов.
Другая особенность состоит в том, что ряды с действительными членами рассматриваются как частный случай ком-
плексных рядов: это позволяет сделать изложение более компактным, особенно в части степенных рядов.
Статистический материал «увязан» с задачами практического характера, что обеспечивает его прикладную направлен-
ность. Имеется также ряд других отличительных особенностей настоящего пособия.
Контрольные задания к излагаемому материалу представлены в изданиях [4], [5].
1. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.1.1. В выбранной прямоугольной системе координат точка (1, 0) соответствует числу 1 на числовой оси абсцисс (оси
действительных чисел), а точка (0, 1) – числу 1 на оси ординат. Чтобы отличать по написанию эти две единицы, последнюю
обозначим буквой
i
и назовём мнимой единицей. Итак, точка (0, 1) отождествляется с мнимой единицей; всякое же другое
число оси ординат, отвечающее точке (0,
y
), теперь естественно записать в виде
yi
и назвать чисто мнимым; сама ось
OY
будет далее называться мнимой осью (тогда как
OX
– действительная ось).
1.1.2. Произвольную упорядоченную пару
x
,
y
действительных чисел («комплекс» из двух действительных чисел), со-
ответствующую точке (
x
,
y
) координатной плоскости, назовём комплексным числом.
Перейдём к так называемой алгебраической записи (форме) комплексного числа, употребив по аналогии с разложением
радиус-век-тора
21
eyexz
r
r
r
+=
по базису {
1
e
,
2
e
} (где
1
e
и
2
e
– единичные направляющие вектора координатных осей) для
точки
z
с координатами
(
)
yx,
запись
yixz
+
=
. (1.1.1)
Итак, между точками
(
)
yx,
и комплексными числами вида (1.1.1) установлено взаимно однозначное соответствие.
Сама же плоскость (со введённой в ней прямоугольной системой координат) называется
комплексной
плоскостью. В частно-
сти, для действительного числа
x
естественна запись
,0ixx
+
=
что соответствует точке
(
)
;0,x
и теперь мы не делаем раз-
личия между действительными числами
x
и комплексными числами вида
.0ix
+
Для чисто мнимого
,
yi
соответствующего
точке
(
)
y,0
,
употребима
запись
.0
yiyi
+
=
Таким
образом
,
множество
C
всех
комплексных
чисел
содержит
своими
под
-
множествами
R
(
множество
всех
действительных
чисел
)
и
множество
всех
чисто
мнимых
чисел
.
1.1.3.
Числа
вида
yixz
+
=
и
yixz
−
=
называются
комплексно
-
сопряженными
;
они
изображаются
точками
,
симмет
-
ричными
относительно
оси
OX
.
Модулем
комплексного
числа
называется
длина
(
модуль
)
радиус
-
вектора
точки
(
)
yx,
,
т
.
е
.
.
22
yxz
+=
(1.1.2)
В
частности
,
модуль
действительного
числа
ixx 0
+
=
есть
2
x
,
т
.
е
.
он
равен
абсолютной
величине
числа
x
;
аналогич
-
но
,
.
2
yyiy
==
1.1.4.
Действительной
частью
числа
iyxz
+
=
называется
x
,
а
мнимой
частью
–
число
y
;
применяем
обозначения
:
.Im,Re
zyzx
=
=
Комплексные
числа
iyxz
111
+=
и
iyxz
222
+=
называются
равными
,
если
совпадают
их
действительные
и
мнимые
части
.
Геометрически
,
соотношение
21
zz
=
означает
совпадение
соответствующих
точек
комплексной
плоскости
.
Комплексные
числа
не
сравниваются
,
т
.
е
.
во
множестве
C
не
вводятся
отношения
«
больше
»
и
«
меньше
».
1.1.5.
В
п
. 1.1.2
мы
отожествили
любое
комплексное
число
iyxz
+
=
с
радиус
-
вектором
точки
(
)
., yx
В
связи
с
этим
операция
сложения
и
вычитания
комплексных
чисел
iyxz
111
+=
и
iyxz
222
+=
вводится
по
аналогии
с
такой
же
операцией
над
векторами
,
которая
,
в
свою
очередь
,
выполняется
покоординатно
.
Так
,
по
определению
(
)
(
)
.
212121
iyyxxzz +++=+
Другими
словами
,
сложение
и
вычитание
комплексных
чисел
производят
по
тем
же
правилам
,
по
которым
эти
действия
производят
над
многочленами
.
Произведение
двух
комплексных
чисел
iyxz
111
+=
и
iyxz
222
+=
определим
в
виде
(
)
(
)
.
2121212121
ixyyxyyxxzz ++−=

Страницы