Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Имеем, в частности, квадрат комплексного числа
2
z
в виде
(
)
xyiyxz 2
222
+−=
; следовательно,
.1,010
22
−=+−= iii
В связи с таким свойством числа
i
его удобно
обозначать
в виде 1−=i ; ясно, что
R
∉
i
; теперь становится понятно, по-
чему число
i
названо
мнимой
единицей. Заметим, что умножение комплексных чисел выполняется по правилу умножения мно-
гочленов с заменой
2
i
на –1.
1.1.6. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Именно,
,
2
1
z
z
z
=
если
,
21
zzz =
где
.0
2
≠
z
Решая конкретные примеры, можно пользоваться способом одновременного умножения числителя и знаменателя дроби
на число, сопряжённое знаменателю.
1.1.7. Совместим стандартным образом прямоугольную и полярную системы координат: полярную ось направим по оси
OX
, полюс системы совмещаем с точкой
(
)
;0,0O
выбираем в обеих системах одинаковые единицы масштаба; ось
OY
на-
правляем по лучу
.
2
π
=ϕ
В этом случае прямоугольные координаты
(
)
yx,
и полярные координаты
(
)
ϕρ,
одной и той же
точки
z
связаны соотношениями (рис. 1.1.1)
ϕρ=
ϕ
ρ
=
.sin
;cos
y
x
Теперь комплексное число
yixz
+
=
принимает вид
(
)
iz
ϕρ+ϕρ= sincos
или
(
)
ϕ+ϕρ= sincos
iz
. (1.1.3)
Форма записи (1.1.3) комплексного числа называется
тригонометрической.
Рис. 1.1.1
Связь полярных и прямоугольных координат точки
M
может быть также представлена в виде
.,tg
22
yx
y
+=ρ=ϕ
Следовательно,
z
=ρ
есть модуль числа
z
; число ϕ назовём аргументом
z
. Обозначим через arg
z
одно из возможных
значений
:
ϕ
;arg
π
≤
<
π
−
z
это
значение
назовём
главным
значением
аргумента
;
иногда
главное
значение
рассматриваем
в
интервале
[
)
π2,0
;
совокупность
всех
значений
ϕ
имеет
вид
,,2argArg Z∈π+= kkzz
где
Z
–
множество
всех
целых
чисел
.
Для
точки
0
=
z
значение
аргумента
не
определено
;
очевидно
,
что
.00 =
1.1.8. Умножение
,
возведение
в
натуральную
степень
(
т
.
е
.
умножение
числа
z
на
себя
n
раз
)
и
деление
комплексных
чи
-
сел
удобно
выполнять
,
записав
эти
числа
в
тригонометрической
форме
.
Легко
проверить
,
что
при
умножении
комплексных
чисел
в
тригонометрической
форме
их
модули
перемножаются
,
а
аргументы
складываются
;
при
делении
–
модули
делятся
,
а
аргументы
вычитаются
;
при
возведении
в
степень
∈
n
N
–
модуль
возводится
в
эту
степень
,
а
аргумент
умножается
на
n
.
Так
,
( )
.,2,1,sincos K=ϕ+ϕρ= nninz
nn
(1.1.4)
1.2.
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
.
ПРЕДЕЛ
.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
1.2.1.
Определение
.
Пусть
G
–
некоторое
множество
комплексных
чисел
.
Говорят
,
что
на
множестве
G
(
области
опреде
-
ления
G
)
задана
функция
вида
(
)
zfw
=
,
если
каждому
Gz
∈
поставлено
в
соответствие
одно
или
несколько
комплексных
чисел
w
.
В
последнем
случае
мы
говорим
,
что
функция
f многозначна.
Если
,
в
частности
,
все
значения
w
–
действительные
числа
,
то
говорим
о
действительнозначной функции комплексного
переменного.
Если
G
–
множество
на
«
действительной
оси
» (
оси
абсцисс
),
т
.
е
.
R
∈
=
xz
,
то
(
)
xfw
=
–
комплекснозначная
функция
действительного
переменного
.
Поскольку
(
)
(
)
yixfzfw
+==
определяется
парами
значений
(
)
yx,
,
то
можно
говорить
об
f
как
функции
двух
дейст
-
вительных
переменных
,
заданной
на
некотором
множестве
G
.
В
то
же
время
ivuw
+
=
,
тогда
(
)
(
)
yxuiyxfu ,Re =+=
,
(
)
(
)
yxviyxfv ,Im =+=
–
две
действительнозначные
функции
действительных
переменных
x
и
y
.
Таким
образом
,
(
)
(
)
(
)
,,, yxviyxuzfw +==
(1.2.1)

Страницы