Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

т.е. задание
(
)
zf
есть задание пары функций
(
)
(
)
yxvvyxuu ,,, ==
, и этим облегчаются многие формулировки и доказа-
тельства в теории функций комплексного переменного.
Комплекснозначная функция вида
(
)
N∈=
nnfw
,
называется последовательностью комплексных чисел. Множество её
значений имеет вид
{
}
KK ,,,,
21 n
www
. Часто термин «последовательность» употребляется и для обозначения множества
}{
n
w
всех получаемых значений функции. Согласно (1.2.1)
(
)
,,2,1, K=+=== nviuwnfw
nnn
т.е. одновременно с
(
)
nf
задаются две последовательности действительных чисел
{
}
n
u
и
{
}
n
v
.
1.2.2. Функция вида Z∈
nzw
n
,= является примером однозначной, а
n
zwzw
=,Arg= – примерами многозначных
(бесконечнозначной и
n
-значной, соответственно) функций.
В основу определения комплекснозначной показательной функции положим известное свойство соответствующей
(действительнозначной) функции )(
x
ϕ (например,
x
ex =)(ϕ
) в случае действительного переменного:
)()(=)( yxyx ϕϕ+ϕ
.
Комплекснозначная функция
yiyy sincos=)( +ϕ
, как легко проверить, обладает этим же свойством; в силу указанной при-
чины положим по определению
; ,sincos= R∈+
yyiye
iy
последнее соотношение называется формулой Эйлера. Примем теперь для всякого
iyxz
+
=
,
по
определению
,
., ),sincos(= R∈+ yxyiyee
xz
В
частности
,
случай
действительного
переменного
0=
ixz
+
,
приводит
к
равенству
xz
ee
=
,
так
что
имеем
обобщение
понятия
показательной
функции
на
комплексный
случай
. C
выходом
в
комплексную
плоскость
экспонента
приобретает
не
-
которые
новые
непривычные
свойства
:
она
периодична
с
периодом
iT
π
2=
,
её
значения
могут
быть
отрицательными
дейст
-
вительными
числами
,
однако
сохраняется
свойство
0≠
z
e
при
любых
z
.
Из
формулы
Эйлера
легко
вытекают
соотношения
,
2
=cos
iyiy
ee
y
−
+
ee
y
iyiy
2
=sin
−
−
,
которые
положим
в
основу
определения
т
p
игонометрических
функций
2
=cos
iziz
ee
z
−
+
,
.
2
=sin
ee
z
iziz
−
−
При
переходе
к
комплексному
аргументу
сохраняются
основные
тригонометрические
формулы
,
однако
может
нару
-
шаться
привычная
ограниченность
единицей
модулей
значений
z
sin
и
z
cos
.
Например
,
+
+
−
e
e
ee
i
ii
1
2
1
=
2
=cos
22
–
действительное
число
,
большее
единицы
.
По
определению
полагаем
также
,
cos
sin
=tg
z
z
z
z
z
z
sin
cos
=ctg
во
всех
точках
z
,
где
знаменатель
соответствующей
дроби
не
обращается
в
ноль
.
Гиперболические
синус
,
косинус
,
тангенс
и
котангенс
определяется
,
соответственно
,
в
виде
,
2
=ch
zz
ee
z
+
,
2
=sh
zz
ee
z
−
−
,
ch
sh
=th
z
z
z
;
sh
ch
=cth
z
z
z
в
последних
двух
случаях
исключаются
из
рассмотрения
те
значения
z
,
для
которых
знаменатели
обращаются
в
ноль
.
Натуральным
логарифмом
числа
z
называется
число
w
,
обладающее
свойством
ze
w
= ,
где
0
≠
z
.
Формула
для
вычис
-
ления
логарифма
получается
из
следующих
рассуждений
.
Если
viuw
+
=
и
(
)
ϕ+ϕ=
sincos
izz
,
то
,
согласно
определению
,
(
)
(
)
ϕ+ϕ=+
sincossincos
izvive
u
.
Модули
равных
комплексных
чисел
равны
,
а
аргументы
могут
отличаться
на
:2 kπ
ze
u
=
,
откуда
znu
l
=
и
.,1,0,2
K
±=π+ϕ= kkv
Следовательно
,
(
)
kiznw
π+ϕ+= 2
l
или
z
Ln
;Argzizn +=
l
употребление
заглавной
буквы
(
в
символе
логарифма
)
означает
многозначность
результата
.
Логарифмическая
функция
zw
Ln
=
определена
при
всех
0
≠
z
и
многозначна
;
при
0
=
k
получаем
так
называемое

Страницы