Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Функция
(
)
zf
называется непрерывной в области
G
, если она непрерывна в каждой точке
z
этой области. Понятия об-
ласти, односвязной, многосвязной областей читателю известны из курса математического анализа; см. также [6].
Вместе с
(
)
zf
и
(
)
zg
непрерывными будут (в их общей области непрерывности
G
) их сумма, произведение, частное.
Справедливо утверждение о непрерывности сложной функции и др.
1.3. ПРОИЗВОДНАЯ
1.3.1. Пусть однозначная функция
(
)
zfw
=
определена в точке
iyxz
+
=
и в некоторой её окрестности, а переменные
x
и
y
получают, соответственно, приращения
x
∆
и
y
∆
. Тогда
yixz
∆
+
∆
=
∆
– соответствующее приращение переменной
z
.
При переходе от точки
z
к точке
z
z
∆
+
(значения
,
x
∆
y
∆
предполагаем столь малыми, что точка
z
z
∆
+
расположена в той
же окрестности) значение
(
)
zfw
=
получает некоторое приращение
(
)
(
)
.
zfzzfw
−∆+=∆
Определение
. Пусть существует предел вида
.lim
0
z
w
z
∆
∆
→∆
(1.3.1)
Он называется производной функции
(
)
zf
в точке
z
и обозначается
(
)
zf
′
либо
.,,
dz
df
dz
dw
w
′
Функция же
(
)
zf
называ-
ется дифференцируемой в точке
z
.
Заметим, что в случае функции действительного переменного
(
)
x
ϕ
существование производной есть существование
предела
x
∆
ϕ∆
, когда
x
∆
приближается к нулю вдоль оси абсцисс. В случае же (1.3.1)
z
∆
приближается к нулю в комплекс-
ной плоскости по
любому
пути. Это и является причиной появления некоторых новых дополнительных свойств дифферен-
цируемых функций в сравнении со случаем функций действительного переменного.
1.3.2. Из свойств пределов и определения (1.3.1) вытекает, что дифференцируемость
(
)
zf
в точке
z
эквивалентна равен-
ству
( ) ( )
,, zzzf
z
w
∆α=
′
−
∆
∆
где
(
)
0, →∆α zz
при
0
∆
z
. Следовательно, существование производной равносильно соотношению
(
)
(
)
zzzzzfw ∆∆α+∆
′
=∆ ,
. (1.3.2)
Выражение
(
)
zzfwd
∆
′
=
называется
дифференциалом
функции
(
)
zf
в точке
z
.
Из (1.3.2) вытекает соотношение
0
∆
w
при
0
∆
z
, а это означает, что дифференцируемость в точке
z
влечёт за со-
бою
непрерывность
(
)
zf
в той же точке.
1.3.3. Имеют место те же правила дифференцирования, что и в случае функций действительного переменного; напри-
мер, если
(
)
,
Czf
=
где
const
=
C
(постоянное комплексное число), то
(
)
0=
′
zf
;
( )( ) ( )
zfCzCf
′
=
′
и т.д. Сохраняется табли-
ца производных в том же виде, что для функций действительного переменного.
Если
(
)
zfw
=
осуществляет взаимно-однозначное соответствие области
G
(в комплексной плоскости точек
z
) на
G
~
(в
комплексной плоскости точек
w
), то определено (однозначное) обратное соответствие
(
)
wz
ϕ=
, называемое обратной функ-
цией. Справедлива формула
( )
( )
zf
w
′
=ϕ
′
1
.
1.3.4. Пусть
yixz
+
=
, и
(
)
zfw
=
определена в точке
z
и в некоторой её окрестности. Запишем
(
)
zf
в виде
(
)
(
)
(
)
yxviyxuzf ,, +=
. (1.3.3)
Необходимое условие дифференцируемости
f
в точке
z
содержится в следующем утверждении.
Теорема
1
. Пусть
(
)
zf
дифференцируема в точке
z
. Тогда существуют частные производные функций
u
и
v
по обеим
переменным в точке
(
)
yx,
, причём в этой точке
y
u
x
v
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
,
. (1.3.4)
Соотношения (1.3.4) называются условиями Коши-Римана.
Пусть существует
(
)
zf
′
, определяемая как предел вида (1.3.1). Выше отмечалось (см. п. 1.3.1), что характер стремле-
ния к нулю величины
yixz
∆
+
∆
=
∆
может быть произвольным. Выберем, в частности, случаи:
1)
0
=
∆
y
,
т
.
е
.
xz
∆
=
∆
,
тогда
0
∆
z
означает
,
что
0
∆
x
;
2)
0
=
∆
x
,
т
.
е
.
yiz
∆
=
∆
,
тогда
0
∆
z
одновременно
с
0
∆
y
.
В
обоих
случаях
переход
от
точки
z
к
точке
z
∆
вызывает
приращение
(
)
(
)
yxviyxuw
,, ∆+∆=∆
.
В
первом
случае
каждое
из
приращений
u
∆
и
v
∆
есть
приращение
по
переменной
x
,
следовательно
(
см
. (1.3.3))

Страницы