Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пусть далее
)(
zf
непрерывна
в
открытой
области
G
и
GAB
⊂
∪
.
Разобьём
произвольным
образом
эту
дугу
на
части
точка
-
ми
n
zzz ,,,
10
K
в
направлении
от
A
к
B
,
при
этом
0
z
совпадает
с
точкой
A
,
n
z
с
точкой
B
.
На
каждой
из
частичных
дуг
kk
zz
1−
∪
произвольным
образом
выберем
по
точке
(
)
nk
k
,,2,1 K=η
и
составим
сумму
(
рис
. 1.4.1)
( )
,
1
∑
=
∆η
n
k
kk
zf
(1.4.1)
где
1−
−=∆
kkk
zzz
–
вектор
,
идущий
из
точки
1−
k
z
в
точку
k
z
(
рис
. 1.4.1).
Обозначим
через
s
наибольшую
из
длин
этих
векто
-
ров
(
хорд
):
.max
k
k
zs
∆=
Сумма
(1.4.1)
называется
интегральной
,
а
предел
вида
( )
∑
=
→
∆η
n
k
kk
s
zf
1
0
lim
(1.4.2)
–
интегралом
от
функции
(
)
zf
по
дуге
AB
∪
;
он
обозначается
символом
(
)
∫
∪
AB
dzzf
.
Рис. 1.4.1
Можно
доказать
,
что
при
сформулированных
выше
условиях
на
функцию
(
)
zf
и
дугу
линии
L
предел
(1.4.2)
существу
-
ет
и
не
зависит
от
способа
разбиения
AB
∪
на
части
точками
k
z
и
от
выбора
«
промежуточных
»
точек
.
k
η
1.4.2. Из
определения
п
. 1.4.1
вытекают
свойства
интеграла
,
аналогичные
свойствам
криволинейных
интегралов
по
ко
-
ординатам
;
например
:
(
)
(
)
∫∫
∪∪
−=
BAAB
dzzfdzzf
,
где
BA
∪
–
та
же
самая
дуга
,
но
с
противоположным
направлением
обхода
(
от
точки
B
к
точке
A
);
( )
,l
Mdzzf
AB
≤
∫
∪
где
M
–
любая
постоянная
,
определяемая
условием
(
)
,
Mzf
≤
;
ABz
∪
∈
l
–
длина
дуги
АВ
и
др
.
1.4.3.
Вычисление
интеграла
(1.4.2)
сводится
к
вычислению
определённого
интеграла
комплексной
функции
действи
-
тельной
переменной
t
:
( ) ( )( ) ( )
.
∫ ∫
∪
β
α
′
=
AB
dttztzfdzzf
(1.4.3)
Формулой
(1.4.3)
следует
пользоваться
,
применяя
известные
нам
свойства
интеграла
(
те
же
,
что
в
случае
действитель
-
нозначной
функции
)
и
оперируя
с
числом
i
,
как
с
обычной
константой
.
Формальная
подстановка
(
)
(
)
(
)
yxviyxuzf ,, +=
и
dyidxdz
+
=
и
вычисление
произведения
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ,,,, ++−=
приводят
нас
также
к
формуле
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.,,,,
∫∫∫
∪∪∪
++−=
ABABAB
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf
(1.4.4)
Доказательство
формул
(1.4.3)
и
(1.4.4)
производится
сравнением
интегральных
сумм
для
интегралов
в
их
правых
частях
с
суммой
(1.4.1).
1.4.4. Вычислим
(
в
качестве
примера
)
интеграл
(
)
,
0
0
dzzzJ
Rzz
n
∫
=−
−=

Страницы