Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
.lim
limlim
0
00
x
v
i
x
u
x
v
i
x
u
x
viu
z
w
zf
xx
x
xx
xz
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
∆
+
∆
∆
=
=
∆
∆
+
∆
=
∆
∆
=
′
→∆
→∆→∆
(1.3.5)
При этом само существование
x
u
∂
∂
и
y
v
∂
∂
вытекает из существования пределов действительной и мнимой части (при
0
→
∆
z
)
функции («разностного отношения»)
z
w
∆
∆
, тогда как сама эта функция имеет предел по условию теоремы.
Аналогично, во втором случае, ,
uu
y
∆=∆
vv
y
∆=∆ , т.е.
( )
.lim
limlim
2
0
00
y
u
i
y
v
y
u
i
i
y
v
yi
viu
z
w
zf
yy
y
yy
yz
∂
∂
−
∂
∂
=
∆
∆
+
∆
∆
=
=
∆
∆+∆
=
∆
∆
=
′
→∆
→∆→∆
(1.3.6)
Правые части соотношений (1.3.5) и (1.3.6) совпадают, так как выражают собою одну и ту же
(
)
zf
′
:
.
∂
∂
−+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
i
y
v
x
v
i
x
u
По определению равенства комплексных чисел имеем отсюда соотношения (1.3.4), что и требовалось доказать.
Замечание 1
. В результате более детального рассмотрения можно было бы доказать, что для дифференцируемой в точ-
ке
z
функции
f
не только существуют указанные в (1.3.4) частные производные, но функции
u
и
v
дифференцируемы
в точке
(
)
yx
, .
Замечание 2
. Как установлено выше,
(
)
zf
′
можно вычислить по любой из указанных в (1.3.5) и (1.3.6) формул.
1.3.5. Достаточное условие дифференцируемости
(
)
zf
в точке
z
содержится в следующем утверждении, которое мы
приведём без доказательства.
Теорема 2
. Если
(
)
yxu
, и
(
)
yxv
, дифференцируемы в точке
(
)
yx
, и выполнены условия Коши-Римана (1.3.4), то
(
)
zf
′
существует в точке
yixz
+
=
.
Согласно теоремам 1 и 2 и замечанию 1
дифференцируемость
функций
u
,
v
в
точке
(
)
yx
,
и
выполнимость
условий
Коши
-
Римана
необходимы
и
достаточны
для
существования
производной
(
)
zf
′
.
1.3.6
Определение
. Функция
(
)
zfw
= , дифференцируемая в точке
0
z
и некоторой её окрестности, называется
анали
-
тической
в
точке
0
z
.
Функция, аналитическая во всех точках некоторой области
G
, называется
аналитической
в
этой
области
.
Точки
z
комплексной плоскости, в которых однозначная
(
)
zf
является аналитической, называются
правильными
точ-
ками этой функции, а все остальные точки (в частности, те, где
(
)
zf
не определена) –
особыми
для
(
)
zf
.
Согласно п. 1.3.5 критерием аналитичности
(
)
zf
в данной точке
z
(в данной области
G
) является дифференцируемость
u
,
v
и выполнимость условий Коши-Римана в этой точке и некоторой её окрестности (в области
G
).
Так, например, функции
,sh,cos= ,sin= ,=
zwzwzwew
z
=
zw
ch
=
оказываются
аналитическими
во
всей
комплекс
-
ной
плоскости
,
поскольку
для
каждой
из
них
выполняются
условия
Коши
-
Римана
в
любой
точке
(
в
чём
можно
убедиться
непосредственной
проверкой
,
выделив
соответствующие
действительные
и
мнимые
части
).
1.4.
ИНТЕГРАЛ
ОТ
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
1.4.1. Понятие
интеграла
функции
)(
zfw
=
по
линии
L
вводится
аналогично
понятию
криволинейного
интеграла
функции
действительного
переменного
.
Пусть
дуга
∪
линии
L
задаётся
параметрически
:
;
),(
);(
β≤≤α
=
=
t
tyy
txx
при
этом
точка
(
)
yxM ,
совершает
движение
из
положения
A
в
положение
B
при
изменении
t
от
α
до
β
.
Будем
считать
,
что
)(
tx
′
и
)(
ty
′
существуют
,
непрерывны
на
отрезке
[
]
βα,
и
одновременно
не
обращаются
в
ноль
.
Иными
словами
,
дуга
∪
задаётся
с
помощью
уравнения
(
)
,
tzz
=
где
;),()()(
β
≤
≤
α
+
=
ttiytxtz
при
этом
=
′
)(
tz
)(')('
tiytx
+
непрерывна
на
[
]
βα,
;
дугу
,
заданную
таким
образом
,
называем
гладкой
.

Страницы