Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
n
– любое целое число, а обход контура интегрирования – окружности
Rzz
=−
0
(
0
z
и
0
>
R
– данные числа) – ведётся
в направлении против часовой стрелки.
Решение
. Уравнение окружности с центром в точке
000
yixz
+=
радиуса
R
может быть записано в виде
π≤≤
=−
=−
20
,sin
;cos
0
0
t
tRyy
tRxx
.
Иначе говоря,
(
)
titRzz
sincos
0
+=−
, а тогда (см. (1.1.4)) при
1
−
≠
n
.
,)sincos(= ),sincos(=)(
0
dtttiRdzntintRzz
nn
−+−
и
=)sincos)(sincos(=
1
2
0
dtttintintRJ
n
−+
+
π
∫
=))sinsincoscos(cossincossin(=
2
0
1
dtnttnttitntnttR
n
−+−−
∫
π
+
0=1)(cos1)(sin=
2
0
1
2
0
1
tdtniRtdtnR
nn
+++−
∫∫
π
+
π
+
.
Если
1
−
=
n
, то
=
)sincos(
)sincos(
=
2
0
dt
titR
ttiR
J
+
−
∫
π
dt
t
i
t
tit
sin
cos
/2)(sin/2)(cos
2
0
+
π++π+
∫
π
=
.2==/2)sin/2cos(=
2
0
2
0
idtidti
ππ+π
∫∫
ππ
Итак,
( )
−=π
−≠∈
=−
∫
=−
.1,2
1;,,0
0
0
ni
nn
dtzz
Rzz
n
Z
1.5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
1.5.1. Пусть
L
– замкнутый контур, целиком расположенный в области
G
. Будем считать, что
L
задан уравнением
(
)
tzz
=
с непрерывной
(
)
tz
′
, т.е. контур гладкий или хотя бы кусочно-гладкий.
Теорема
Коши
. Пусть
)(
zf
аналитична
в
G
,
и
контур
L
ограничивает
односвязную
область
GD
.
Тогда
( )
∫
=
L
dzzf 0
.
Эту
теорему
легко
доказать
при
дополнительном
предположении
,
что
(
)
zf
′
–
непрерывна
.
В
силу
формул
(1.3.5)
и
(1.3.6)
тогда
будут
непрерывными
в
G
все
частные
производные
первого
порядка
функций
(
)
(
)
zfyxu Re, =
и
(
)
(
)
zfyxv Im, =
.
При
этих
предположениях
к
каждому
из
криволинейных
интегралов
в
представлении
(
см
. (1.4.4))
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf
LLL
,,,, ++−+=
∫∫∫
(1.5.1)
можно
применить
формулу
Грина
:
,
)(
)(
dxdy
y
u
x
v
dyvudx
L D
∫ ∫∫
∂
∂
−
∂
−∂
=−+ (1.5.2)
;
dxdy
y
v
x
u
udyvdx
L D
∫ ∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=+ (1.5.3)
обход
контура
L
в
криволинейных
интегралах
происходит
против
часовой
стрелки
.
Согласно
условиям
Коши
-
Римана
(1.3.4)
интегралы
в
правых
частях
(1.5.2)
и
(1.5.3)
оба
равны
нулю
.
Следовательно
,
равны
нулю
и
оба
криволинейных
интеграла
;
они
остаются
нулевыми
,
если
изменить
направление
обхода
L
на
противопо
-
ложное
.
Теперь
,
в
силу
равенства
(1.5.1),
получаем
утверждение
теоремы
.
1.5.2. Имеет
место
следующая
теорема
Коши
для
двусвязной
области
.
Пусть
сохраняются
предположения
п
. 1.5.1
для
границ
L
(
внешней
)
и
l
(
внутренней
)
двусвязной
области
причём
выбрано
направление
обхода
каждой
границы
против
часовой
стрелки
.
Если
функция
f
(
z
)
аналитична
в
области
G
и
непрерыв
-
на
на
L
и
l
,
то
имеет
место
равенство
(
рис
. 1.5.1)
(
)
(
)
∫∫
=
l
dzzfdzzf
L
.
Рис. 1.5.1

Страницы