Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
2.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
2.1.1. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел
... ,...,, , ,
321 n
wwww
. Формально составленная
бесконечная сумма вида
......
321
+++++
n
wwww
или, коротко,
n
n
w
∑
∞
1=
(2.1.1)
называется числовым рядом; общий член последовательности
}{
n
w
называется общим членом ряда (2.1.1).
Обозначим через
nn
wwwwS
++++ ...=
321
n
-ю частичную сумму ряда (2.1.1); при этом, по определению,
11
=
wS
.
Если существует предел вида
,lim=
n
n
SS
∞→
(2.1.2)
то числовой ряд (2.1.1) называется сходящимся, а в противном случае – расходящимся.
Число
S
назовём суммой сходящегося ряда; говорят также, что ряд (2.1.1) сходится к сумме
S
и применяют запись
n
n
wS
∑
∞
1=
=
.
Главная задача, которая решается в теории числовых рядов – сходится или расходится данный ряд; вопрос о его сумме
можно ставить лишь тогда, когда доказана сходимость. Сумму же сходящегося ряда всегда можно вычислить приближённо,
взяв достаточно большое количество
n
членов в составе его частичной суммы
n
S
; при этом точность вычисления увеличи-
вается с ростом
n
.
2.1.2.
Пример
. Исследовать сходимость ряда
.
1
1=
n
n
∑
∞
(2.1.3)
Решение
. Данный ряд состоит из действительных чисел; исследование разобьём на несколько этапов.
1. Поведение частичных сумм ряда (2.1.3) определится следующей оценкой его общего члена:
. ln1)(ln>
1
nn
n
−+
2. Доказательство этой оценки основано на неравенстве
0,> ,<)(1ln
xxx
+
(2.1.4)
которое
мы
сейчас
установим
(
читателю
рекомендуется
изобразить
графики
левой
и
правой
части
неравенства
).
Разность
левой
и
правой
частей
(2.1.4)
xxxy
−
+
)(1ln=)(
–
убывающая
функция
,
поскольку
0<1
1
1
=)(
−
+
′
x
xy
при
0>
x
.
Кроме
того
очевидно
,
что
0=(0)
y
;
значит
разность
)(
xy
остаётся
отрицательной
:
0<)(1ln
xx
−
+
при
всех
0>
x
.
Это
и
утверждалось
в
соотношении
(2.1.4).
3.
Выбирая
n
x
1
=
в
(2.1.4),
имеем
неравенство
, ln1)(ln=
1
ln=
1
1ln>
1
nn
n
n
nn
−+
+
+
для
общего
члена
ряда
,
которое
мы
и
хотели
установить
.
4.
Теперь
частичная
сумма
(2.1.3)
n
-
го
порядка
n
n
S
n
1
1
1
...
3
1
2
1
1=
+
−
++++
имеет
оценку
снизу
:
+−−++−+− )1)(lnln(...2)ln3ln(1)ln2ln(>
nnS
n
1),(ln=) ln1)(ln(
+
−
+
+
nnn

Страницы