Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

откуда вытекает, что
∞→
n
S
вместе с
1)(ln
+
n
при
∞
→
n
.
Итак
,
исследуемый
ряд
расходится
.
Замечание
.
Указанный
ряд
называется
гармоническим
.
Ниже
будет
рассмотрен
более
общий
случай
:
обобщённый
гар
-
монический
ряд
(
ряд
Дирихле
).
2.1.3.
Установим
некоторые
свойства
сходящихся
рядов
.
Пусть
даны
произвольные
комплексные
числа
ρ
τ
,
и
сходя
-
щиеся
числовые
ряды
, ,
1=1=
n
n
n
n
vu
∑∑
∞∞
(2.1.5)
суммы
которых
равны
U
и
V
соответственно
.
Тогда
ряд
)(
1=
nn
n
vu
ρ+τ
∑
∞
(2.1.6)
сходится
и
его
сумма
равна
VU
ρ
+
τ
.
Доказательство
легко
следует
из
определений
сходимости
и
суммы
ряда
.
Исключим
из
рассмотрения
случай
0==
ρ
τ
,
в
котором
утверждение
становится
очевидным
(
сумма
ряда
,
состоящего
из
нулей
,
равна
нулю
)
и
запишем
n
-
ю
час
-
тичную
сумму
исследуемого
ряда
(2.1.6):
=)(...)()(=
2211
nnn
vuvuvuS
ρ+τ++ρ+τ+ρ+τ
,=)...()..(=
2121
nnnn
VUvvvuuu
ρ+τ+++ρ++++τ
где
nn
VU
,
–
частичные
суммы
соответствующих
рядов
(2.1.5).
В
силу
их
сходимости
имеем
.=limlim=lim
VUVUS
n
n
n
n
n
n
ρ+τρ+τ
∞→∞→∞→
Итак
,
ряд
(2.1.6)
оказался
(
на
основании
определения
)
сходящимся
к
сумме
.
VU
ρ
+
τ
В
частности
,
при
0=
ρ
получаем
,
что
ряд
n
n
u
τ
∑
∞
1=
имеет
то
же
поведение
,
что
и
.
1=
n
n
u
∑
∞
Если
исходный
ряд
был
сходящимся
,
то
его
сумма
умножится
на
τ
.
2.1.4. Пусть
...2,1,= ,=
nivuw
nnn
+
,
так
что
n
u
–
действительная
часть
, a
n
v
–
мнимая
часть
n
w
.
Ряд
(2.1.1)
тогда
можно
записать
в
виде
).(
1=
nn
n
ivu
+
∑
∞
Применяя
доказанное
в
п
. 2.1.3
свойство
,
получаем
следующее
утверждение
.
Если
сходятся
ряды
, ,
1=1=
n
n
n
n
vu
∑∑
∞∞
(2.1.7)
составленные
из
действительных
и
мнимых
частей
последовательности
n
w
,
то
сходится
и
ряд
(2.1.1).
Верно
и
обратное
:
если
сходится
ряд
(2.1.1),
то
имеет
место
сходимость
обоих
рядов
(2.1.7);
утверждение
вытекает
из
свойств
п
. 1.2.3,
поскольку
последовательности
частичных
сумм
(
n
-
го
порядка
)
рядов
(2.1.7)
представляют
собою
,
соответст
-
венно
,
действительную
и
мнимую
часть
сходящейся
последовательности
n
S
.
2.1.5. По
заданной
бесконечной
последовательности
}{
n
w
построим
теперь
ряд
вида
...,
21
++
++
NN
ww
(2.1.8)
где
...2,1,=N
и
назовем
его
N
-
м
остатком
ряда
(2.1.1);
иными
словами
,
N
-
й
остаток
(2.1.1)
есть
ряд
,
полученный
отбрасы
-
ванием
первых
N
членов
.
Обозначим
при
Nn
>
через
nN
S
,
n
-
ю
частичную
сумму
ряда
-
остатка
(2.1.8):
nNnN
wwS ++
+
...=
1,
и
,
в
случае
его
сходимости
,
через
N
RR
=
–
сумму
этого
ряда
,
т
.
е
.
nN
n
N
SR
,
lim=
→∞
. (2.1.9)

Страницы