Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

няется и для прогрессий с комплексными членами). Вычислим теперь предел последовательности частичных сумм:
(
)
.lim1
1
=lim
n
n
n
n
q
q
a
S
∞→∞→
−
−
Последний предел существует, так как очевидно, что
0=lim
n
n
q
∞→
при
1|<|
q
.
Теперь
,
1
=lim
q
a
S
n
n
−
∞→
т
.
е
.
ряд
оказался
сходящимся
к
сумме
:
.
1
=
q
a
S
−
Итак
,
мы
установили
,
что
ряд
(2.2.3)
с
0
≠
a
является
сходящимся
тогда
и
только
тогда
,
когда
1|<|
q
,
и
нашли
в
этом
случае
его
сумму
.
2.3.
СХОДИМОСТЬ
РЯДОВ
С
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ
ЧЛЕНАМИ
:
ПРИЗНАКИ
СРАВНЕНИЯ
2.3.1.
Рассмотрим
тот
важнейший
случай
,
когда
ряд
n
n
a
∑
∞
1=
(2.3.1)
составлен
из
действительных
положительных
чисел
,
т
.
е
.
порождён
последовательностью
...2,1,= 0,> , },{ naaa
nnn
R∈
;
такой
ряд
называют
знакоположительным
.
Обозначим
через
n
S
частичную
сумму
ряда
n
-
го
порядка
.
В
вопросах
исследования
знакоположительных
рядов
потребуется
следующее
вспомогательное
утверждение
.
Лемма
.
Если
последовательность
}{
n
S
ограничена
сверху
,
то
ряд
(2.3.1)
сходится
.
С
ростом
n
последовательность
}{
n
S
возрастает
,
так
как
в
частичной
сумме
будут
добавляться
положительные
чле
-
ны
.
Кроме
того
,
по
условию
,
эта
последовательность
ограничена
.
Но
,
как
известно
из
анализа
,
всякая
возрастающая
ограни
-
ченная
последовательность
имеет
предел
;
в
нашем
случае
существует
(
конечный
)
предел
вида
n
n
S
∞→
lim
.
Это
и
означает
схо
-
димость
ряда
(2.3.1).
2.3.2. Одним
из
способов
исследования
сходимости
знакопожительного
ряда
является
сравнение
его
общего
члена
с
общим
членом
некоторого
ряда
с
известным
поведением
(«
эталонного
ряда
»).
Примером
эталонного
является
ряд
,
состав
-
ленный
из
членов
бесконечной
геометрической
прогрессии
(
см
.
п
. 2.2.2).
Другие
примеры
см
.
в
параграфе
2.5.
Теорема 1
(
сравнения
).
Пусть
даны
два
знакоположительных
ряда
:
n
n
a
∑
∞
1=
(2.3.2)
и
n
n
b
∑
∞
1=
(2.3.3)
и
при
всех
...2,1,=n
имеет
место
неравенство
.
nn
ba
≤
(2.3.4)
Тогда
: 1)
если
сходится
ряд
(2.3.3) (
к
некоторой
сумме
B
),
то
сходится
и
ряд
(2.3.2) (
к
некоторой
сумме
A
);
при
этом
для
их
сумм
имеет
место
соотношение
B
A
≤
; 2)
если
ряд
(2.3.2)
расходится
,
то
расходится
и
ряд
(2.3.3).
Замечание
.
Согласно
свойству
п
. 2.1.5 (
отбрасывание
или
добавление
конечного
числа
членов
не
влияет
на
сходимость
ряда
)
утверждение
теоремы
имеет
место
,
если
соотношение
(2.3.4)
выполняется
не
при
всех
n
,
а
лишь
начиная
с
некоторого
номера
N
.
1.
Если
ряд
(2.3.3)
сходится
,
то
последовательность
}{
n
B
его
частичных
сумм
(
как
сходящаяся
последовательность
)
ограничена
сверху
некоторой
постоянной
CBC
n
≤
:
.
Если
также
n
A
–
последовательность
частичных
сумм
ряда
(2.3.2),
то
из
неравенства
(2.3.4)
вытекает
,
что
CBA
nn
≤≤
(2.3.5)
при
всех
n
.
Следовательно
,
последовательность
n
A
ограничена
сверху
,
а
тогда
по
лемме
п
. 2.3.1
ряд
(2.3.2)
сходится
.
Переходя
к
пределу
в
неравенстве
(2.3.5),
получаем
также
B
A
≤
.
Утверждение
1
установлено
.
2)
Если
ряд
(2.3.2)
расходится
,
то
(2.3.3)
не
может
быть
,
согласно
(2.3.4),
сходящимся
по
доказанному
утверждению
1:
тогда
,
обязан
сходиться
и
ряд
(2.3.2).
Утверждение
2
доказано
.
2.3.3.
Теорема 2
(
сравнения
в
предельной
форме
).
Пусть
даны
два
знакоположительных
ряда
(2.3.2)
и
(2.3.3),
причём
существует
предел
вида
.,0 ,lim=
∞<>
∞→
LL
b
a
L
n
n
n
(2.3.6)

Страницы