Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
1=
1
n
n
n
n
+
∑
∞
.
Решение
. Имеем знакоположительный ряд с общим членом
,
1
=
2
n
n
n
n
a
+
вид которого позволяет использовать признак Коши:
.=
1
lim=lim=
e
n
n
aK
n
n
n
n
n
+
∞→∞→
Поскольку
1>=
eK
, то данный ряд расходится.
2.5. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ:
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ
2.5.1. Следующий признак позволяет свести вопрос об исследовании сходимости знакоположительного ряда к более
знакомой задаче об исследовании сходимости несобственного интеграла.
Рассмотрим аналитическое выражение общего члена
n
a
(формулу, которой он задан) ряда (2.3.1) и заменим в ней
n
на
x
. В результате получим некоторую функцию
)(
xa
.
Пусть
эта
функция
непрерывна
и
убывает
на
промежутке
)[1, ∞
.
Теорема
(
интегральный
признак
Коши
).
Если
несобственный
интеграл
dxxa
)(
1
∫
∞
(2.5.1)
сходится
,
то
сходится
и
ряд
(2.3.1);
если
же
интеграл
(2.5.1)
расходится
,
то
расходится
и
ряд
.
Доказательство
основано
на
двойном
неравенстве
.<)(<
1
1
1 −
∫
−
n
n
n
SdxxaaS
Чтобы
его
доказать
,
используем
следующие
рассуждения
геометрического
характера
(
рис
. 2.5.1).
Значение
dxxa
n
)(
1
∫
равно
площади
криволинейной
трапеции
,
ограниченной
сверху
графиком
)(=
xay
,
основанием
ко
-
торой
является
отрезок
][1,
n
.
Точки
с
координатами
),(
n
an
расположены
на
графике
)(=
xay
, a
....=
321
nn
aaaaS
+++−
Рис. 2.5.1
Перв
oe
слагаемое
22
1=
aa
⋅
численно
равн
o
площади
прямоугольника
,
основание
которого
есть
отрезок
2][1,
оси
абс
-
цисс
,
а
высота
h
равна
2
a
;
второй
член
–
площади
прямоугольника
с
основанием
3][2,
и
высотой
3
=
ah
; …;
последний
член
суммы
n
a
численно
совпадает
с
площадью
прямоугольника
,
имеющего
основанием
отрезок
] 1,[
nn
−
и
высоту
,
равную
n
a
.
Полученная
ступенчатая
фигура
,
состоящая
из
указанных
прямоугольников
,
является
«
вписанной
»
по
отношению
к
кри
-
волинейной
трапеции
(
см
.
рис
. 2.5.1),
а
значит
имеет
площадь
,
меньшую
,
чем
криволинейная
трапеция
,
так
что
неравенство
dxxaaS
n
n
)(<
1
1
∫
−
(2.5.2)
доказано
.
Аналогичны
рассуждения
в
случае
второго
неравенства
:
сумма
1211
1...11=
−−
⋅++⋅+⋅
nn
aaaS
численно
равна
площади
«
описанной
»
ступенчатой
фигуры
,
состоящей
из
прямоугольников
,
основания
которых
–
отрезки
]1,[...,3],[2, 2],[1, nn
−
,
а
высоты
равны
,
соответственно
,
121
...,, ,
−n
aaa
.
Следовательно
,
площадь
этой
фигуры
больше
,
чем
площадь
криволинейной
трапеции
,
т
.
е
.
.)(
1
1
dxxaS
n
n
∫
>
−
(2.5.3)
В
случае
сходимости
несобственного
интеграла
(2.5.1)
из
неравенства
(
см
. (2.5.2))

Страницы