ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
При этом параметр
n
пробегает последовательно чётные и нечётные натуральные значения:
12=
−
mn
и
mn
2=
,
...3,2,1,=m
Значит
достаточно
установить
,
что
обе
последовательности
частичных
сумм
чётного
и
нечётного
порядка
имеют
один
и
тот
же
предел
,
равный
S
:
SSS
m
m
m
m
=lim=lim
122 −
∞→∞→
. (2.6.7)
Начнём
с
рассмотрения
сумм
чётного
порядка
;
докажем
что
последовательность
таких
сумм
возрастает
и
ограничена
сверху
.
В
силу
чередования
знаков
(
см
. (2.6.2))
имеем
=...=
21243212
mmm
uuuuuuS
−++−+−
−
)(...)()(=
2124321
mm
uuuuuu
−++−+−
−
. (2.6.8)
Согласно
(2.6.3)
разности
,
записанные
в
каждой
скобке
,
положительны
;
следовательно
,
0>
2
m
S
. (2.6.9)
Кроме
того
,
с
ростом
в
сумме
(2.6.8)
будут
возникать
новые
положительные
скобки
-
разности
,
так
что
она
оказывается
возрастающей
.
Чтобы
доказать
ограниченность
m
S
2
,
перепишем
(2.6.8)
в
виде
mmmm
uuuuuuuuS
21222543212
)(...)()(=
−−−−−−−−
−−
.
Теперь
из
1
u
вычитаются
положительные
разности
и
положительное
m
u
2
,
а
тогда
справедлива
оценка
12
<
uS
m
.
В
силу
(2.6.9)
имеем
теперь
12
<<0
uS
m
. (2.6.10)
Итак
,
установлены
возрастание
и
ограниченность
последовательности
{
m
S
2
},
откуда
следует
её
сходимость
к
некото
-
рому
действительному
числу
S
.
Далее
,
частичные
суммы
12 −
m
S
нечётного
и
m
S
2
чётного
порядка
отличаются
членом
m
u
2
:
mmm
uSS
2212
=
−
−
.
Согласно
условию
(2.6.4),
последовательность
{
12 −
m
S
}
имеет
теперь
тот
же
предел
S
,
что
и
{
m
S
2
}.
Соотношение
(2.6.7)
установлено
,
чем
и
доказана
сходимость
ряда
(2.6.2).
Наконец
,
переходя
к
пределу
в
двойном
неравенстве
(2.6.10),
получаем
оценку
(2.6.5)
суммы
ряда
.
2.6.2. Пусть
выполнены
условия
признака
Лейбница
.
Рассмотрим
N
-
й
остаток
ряда
(2.6.2)
...),(1)(
321
−+−−
+++
NNN
N
aaa
(2.6.11)
который
также
является знакочередующимся
рядом
.
Следовательно
, (2.6.11)
сходится
,
и
его
сумма
N
R
положительна
при
чётном
N
и
отрицательна
,
если
N
нечётно
;
при
этом
сумма
ряда
,
записанного
в
скобках
в
(2.6.11)
не
превосходит
1+
N
a
.
Таким
образом
установлено
утверждение
.
Следствие
.
Если выполнены
условия
(2.6.3), (2.6.4),
то
сумма
N
R
остатка
(2.6.11)
знакочередующегося
ряда
имеет
оценку
1
||
+
≤
NN
aR
.
В
частности
,
сумму
знакочередующегося
ряда
(2.6.2)
можно
приближённо
заменить
значением
частичной
суммы
N
S
первых
N
членов
;
погрешность
при
этом
не
превосходит
модуля
первого
из
отбрасываемых
членов
ряда
.
2.6.3.
Пример
.
Ряд
вида
...
1
1)(...
3
1
2
1
1
1
+−+−+−
−
n
n
(2.6.12)
является
сходящимся
,
поскольку
выполнены
оба
условия
признака
Лейбница
:
последовательность
n
1
является
,
очевидно
,
убывающей
и
имеет
место
соотношение
0.=
1
lim
n
n
∞→
Сумма
этого
ряда
приближённо
,
с
точностью
,
например
,
до
0,1,
равна
сумме
первых
его
девяти
членов
(
точность
опре
-
деляется
значением
первого
отбрасываемого
члена
),
т
.
е
.
S
≈
0,7.
2.7.
АБСОЛЮТНАЯ
И
УСЛОВНАЯ
СХОДИМОСТЬ
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ
РЯДОВ
С
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ
ЧЛЕНАМИ
.
АБСОЛЮТНАЯ
И
УСЛОВНАЯ
СХОДИМОСТЬ
РЯДОВ
С
КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧЛЕНАМИ
2.7.1. Рассмотрим
ряд
из
действительных
чисел
,
1=
n
n
u
∑
∞
(2.7.1)
среди
членов
которого
имеются
как
положительные
,
так
и
отрицательные
числа
;
такой
ряд
называется
знакопеременным
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
