Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим также ряд, составленный из абсолютных величин членов (2.7.1):
.||
1=
n
n
u
∑
∞
(2.7.2)
Заметим, что если количество только положительных или только отрицательных членов ряда (2.7.1) оказывается ко-
нечным, то вопрос о сходимости сводится к случаю знакоположительных рядов. В самом деле, если конечным будет, напри-
мер, количество положительных членов в (2.7.1), то, начиная с некоторого номера, все члены ряда будут отрицательными.
Тогда поведение ряда определяется поведением этого остатка (свойство п. 2.1.5), состоящего только из отрицательных чле-
нов. Если изменить знаки всех членов ряда-остатка на противоположные (т.е. умножить все члены на (–1)), то его поведение
не изменится в силу свойства п. 2.1.3. Таким образом, для ряда (2.7.1) вопрос о его сходимости сведён к исследованию полу-
ченного знакоположительного ряда.
Будем считать поэтому, что количество как положительных, так и отрицательных членов в (2.7.1) является бесконеч-
ным.
Теорема 1.
Если сходится ряд (2.7.2), то сходится и ряд (2.7.1). Сходимость ряда (2.7.1) в этом случае называется
абсо-
лютной
.
Обратное утверждение неверно: знакопеременный ряд может быть сходящимся, тогда как (2.7.2) – расходящийся. При-
мером служит (2.6.12), для которого ряд из абсолютных величин – это расходящийся (п. 2.1.2) гармонический ряд.
Пусть
nn
uuuS
+++ ...=
21
n
-я частичная сумма ряда (2.7.1), а
||...|||=|
21
nn
uuu
+++σ
(2.7.3)
n
-я частичная сумма ряда из абсолютных величин (2.7.2).
Выделим в частичной сумме
n
S
(2.7.1) сумму всех положительных членов, и обозначим её через
+
n
S
, а сумму абсолют-
ных величин всех отрицательных членов (в составе той же суммы) обозначим через
−
n
S
. Суммы
+
n
S
и
−
n
S
, составленные из
положительных чисел, возрастают с ростом
n
. Очевидно, что
.= ,=
−+−−
+σ−
nnnnnn
SSSSS
Последовательность (2.7.3) имеет предел (ввиду сходимости ряда (2.7.2)), а значит является ограниченной, т.е. сущест-
вует постоянная
0>
C
, такая что
C
n
≤σ
при всех
n
. Ясно, что тогда
,=
CSSS
nnnn
≤σ+≤
−++
и, точно так же,
CS
nn
≤σ≤
−
.
Значит, последовательности
−
n
S
и
+
n
S
, будучи возрастающими и ограниченными, имеют конечные пределы. Тогда имеет
предел их разность
n
S
, что и означает сходимость ряда (2.7.1).
2.7.2. Вернёмся к рассмотрению ряда с комплексными членами:
n
n
w
∑
∞
1=
, (2.7.4)
одновременно рассматривая соответствующий ряд из модулей
.||
1=
n
n
w
∑
∞
(2.7.5)
Рассмотрим также два ряда, составленные из действительных частей и мнимых частей последовательности
}{
n
w
:
, ,
1=1=
n
n
n
n
vu
∑∑
∞∞
(2.7.6)
где
....2,1,= , Im= , Re= nwvwu
nnnn
.
Теорема 2.
Если сходится ряд (2.7.5), то сходится и ряд (2.7.4).
Как и в случае рядов с действительными членами, ряд (2.7.4) называется в этом случае абсолютно сходящимся.
Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно.
Поскольку
,
22
nnnn
wvuu
=+≤
то сходится и ряд
∑
∞
=1
n
n
u
(по теореме сравнения рядов с положительными членами). Аналогично, сходится и ряд
∑
∞
=1
n
n
v
.
Следовательно, оба ряда (2.7.6) сходятся абсолютно. Отсюда и вытекает сходимость ряда (2.7.4); см. п. 2.1.4.
Выше показано (на примере ряда из действительных чисел), что числовой ряд может сходиться, тогда как ряд из моду-
лей расходится. В этом случае сходимость ряда (2.7.4) называют условной.
Теорема 3
. Ряд (2.7.4) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся оба ряда (2.7.6).
При доказательстве теоремы 2 уже установлено, что из сходимости (2.7.5) вытекает абсолютная сходимость обоих
рядов (2.7.6). Остаётся установить обратное утверждение. Заметим, что при каждом
n
наибольшее из двух чисел
||
n
u
и
||
n
v
не превосходит их суммы
||||
nn
vu
+
, а тогда
|||||=|
22
nnnnn
vuvuw
+≤+
.
Если теперь абсолютно сходятся оба ряда (2.7.6), то будет сходящимся и ряд

Страницы