Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

≤++++
+
∞→
+
∞→
|)(...)(|
lim
|=))(...)((
lim
|=|)(|
11
zuzuzuzuzr
mn
m
mn
m
n
)...(
lim
|))(|...|)((|
lim
11
mn
m
mn
m
zuzu
α++α≤++≤
+
∞→
+
∞→
. (2.8.4)
Cумма под знаком последнего написанного предела представляет собою
m
-ю частичную сумму
n
-го остатка числового
ряда (2.8.3), а значение предела – сумма его
n
-го остатка, которую мы обозначим через
*
n
r
:
.|)(|
*
nn
rzr
≤
Ввиду сходимости ряда (2.8.3) имеем (п. 2.1.5), что
0
*
→
n
r
при
∞
→
n
. Согласно (2.8.4) и условию теоремы тогда име-
ем
*
|)(|max|=)()(|max=
nn
Gz
n
Gz
n
rzrzSzS
≤−ρ
∈∈
и, следовательно,
0,=lim
n
n
ρ
∞→
что и означает равномерную (на
G
) сходимость ряда (2.8.1).
2.8.3.
Теорема 2
. Если ряд (2.8.1), составленный из функций
)(
zu
n
, непрерывных на замкнутой ограниченной области
G
, равномерно сходится в этой области, то его сумма
)(
zS
непрерывна
в
каждой
точке
Gz
∈
0
,
т
.e.
).(=)(lim
0
0
zSzS
zz
→
(2.8.5)
Оценим
|)()(|
0
zSzS
−
.
Имеем
,
в
силу
(2.8.5),
≤+−+− |))()(())()((|=|)()(|
000
zrzSzrzSzSzS
nnnn
|=)(|max2|)()(||)(||)(||)()(|
000
zrzSzSzrzrzSzS
n
Gz
nnnnnn
∈
+−≤++−≤
,2|)()(=|
0
nnn
zSzS
ρ+−
(2.8.6)
где
,
по
определению
равномерной
сходимости
ряда
,
0→ρ
n
при
∞
→
n
.
Поскольку
конечная
сумма
)(
zS
n
непрерывных
(
на
G
)
функций
является
непрерывной
,
имеем
)(=)(lim
0
0
zSzS
nn
zz
→
или
0,|=)()(|lim
0
0
zSzS
nn
zz
−
→
а
тогда
,
в
силу
(2.8.6),
.2=2|)()(|lim|)()(|lim
0
0
0
0
nnnn
zzzz
zSzSzSzS
ρρ+−≤−
→→
(2.8.7)
Левая
часть
(2.8.7)
не
зависит
от
n
,
и
,
следовательно
,
сохраняет
свой
вид
при
предельном
переходе
(
по
n
),
тогда
как
пра
-
вая
стремится
к
нулю
.
Переходя
к
пределу
при
∞
→
n
в
обеих
частях
(2.8.7),
получаем
0,|=)()(|lim
0
0
zSzS
zz
−
→
откуда
и
следует
(2.8.5).
2.8.4. Установим
возможность
почленного
интегрирования
равномерно
сходящегося
ряда
.
Теорема
3
.
Пусть
члены
равномерно
сходящегося
в
замкнутой
ограниченной
области
G
ряда
(2.8.1)
непрерывны
и
L
–
некоторая
гладкая
дуга
,
расположенная
в
этой
области
.
Тогда
,
если
(
)
zf
–
сумма
ряда
,
то
возможно
почленное
интегрирова
-
ние
по
дуге
L
:
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫∫∫
++++=
L
n
LLL
dzzudzzudzzudzzf
KK
21
. (2.8.8)
Во
-
первых
(
согласно
теореме
2),
(
)
zf
–
непрерывна
в
указанной
выше
области
,
т
.
е
.
интеграл
от
неё
(
вдоль
L
)
суще
-
ствует
.
Во
-
вторых
,
достаточно
доказать
(
по
определению
сходимости
ряда
),
что
разность
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫∫∫
+++−
L L
n
LL
dzzudzzudzzudzzf K
21
является
при
∞
→
n
бесконечно
малой
последовательностью
.
Действительно
,
модуль
этой
разности
обладает
оценкой
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
,max
21
zSzfdzzSzf
dzzuzuzudzzf
n
Lz
L
n
L L
n
−≤−=
=+++−
∈
∫
∫ ∫
l
K
(2.8.9)
где
(
)
zS
n
–
частная
сумма
ряда
(2.8.1),
l
–
длина
дуги
L
(
см
.
п
. 1.4.2).
Ввиду
равномерной
сходимости
правая
часть
(2.8.9)
стремится
к
нулю
(
при
∞
→
n
),
чем
и
доказано
соотношение
(2.8.8).
2.8.5.
Теорема
4
.
Если
члены
ряда
(2.8.1)
аналитичны
в
замкнутой
ограниченной
области
G
и
ряд
равномерно
сходится
к
сумме
(
)
zf
в
этой
области
,
то
и
(
)
zf
аналитична
в
G
.

Страницы