Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. В случае
0
zz
′
>
ряд (2.9.1) не может сходится в точке
z
. Действительно, имеем
(
)
zUz ;0
0
∈
′
, и, если (2.9.1) сходит-
ся в точке
z
, то по первой части теоремы Абеля, ряд сходится и в точке
0
z
′
. Но это противоречит условию. Итак, во всех точ-
ках
z
, таких что
0
zz
′
>
, ряд (2.9.1) расходится.
2.9.2 Из теоремы Абеля вытекает, что всякая точка сходимости
0
z
степенного ряда ближе к началу координат, чем лю-
бая точка расходимости (если такая имеется). Следовательно, должно существовать некоторое "пограничное" число
R
, такое
что при
Rz
<
(т.е. в каждом таком круге) имеет место абсолютная сходимость, а при
Rz
>
(вне круга) – расходимость
ряда (2.9.1).
Число
R
называется
радиусом сходимости
степенного ряда, область
(
)
RU ,0
– его кругом сходимости, см. рис. 2.9.1.
При всяком
R
<
ρ
<
0
ряд
(2.9.1)
будет
сходиться
и
равномерно
в
круге
ρ≤
z
.
Действительно
,
взяв
точку
z
~
,
такую
что
ρ=
z
~
,
имеем
абсолютную
сходимость
в
точке
z
~
,
т
.
е
.
сходится
ряд
∑
∞
=
ρ
0
.
n
n
n
a
В
то
же
время
,
для
членов
(2.9.1)
имеем
оценку
.
n
n
n
n
n
n
azaza
ρ<⋅≤
Согласно
признаку
Вейерштрасса
,
получаем
равномерную
сходимость
при
ρ≤
z
.
В
частности
(
вследствие
непрерывности
степенных
функций
(
)
)
n
n
zzu
=
,
непрерывной
в
круге
сходимости
будет
сумма
ряда
(2.9.1).
Рис. 2.9.1
2.9.3. Заметим
,
что
если
функция
(
)
z
ϕ
равномерно
ограничена
по
модулю
в
круге
ρ≤
z
,
т
.
е
.
если
существует
const
=
Μ
,
такая
что
(
)
Μ
z ≤ϕ
в
этом
круге
,
то
ряд
(
)
(
)
(
)
KK +ϕ++ϕ+ϕ
n
n
zzazzaza
10
(2.9.4)
остаётся
мажорируемым
в
том
же
круге
.
Действительно
,
мажорантным
для
(2.9.4)
является
ряд
вида
∑
∞
=0
n
n
Ma
,
если
ряд
с
общим
членом
n
a
будет
мажорантным
для
(2.9.1).
Теперь
возможность
почленного
интегрирования
степенных
рядов
и
рядов
вида
(2.9.4)
в
круге
сходимости
будет
выте
-
кать
,
как
частный
случай
,
из
утверждения
теоремы
3
п
. 2.8.4.
Согласно
же
теореме
4
п
. 2.8.5
сумма
f
(
z
)
степенного
ряда
(2.9.4)
является
аналитической
в
круге
сходимости
.
Как
оказывается
,
в
каждой
точке
этого
круга
производная
(
)
zf
′
может
быть
получена
путём
почленного
дифференцирования
ряда
:
.=)(
1
1=
−
∞
∑
′
n
n
n
znazf
Более
того
,
сумма
степенного
ряда
бесконечно
дифференцируема
в
круге
сходимости
и
производная
этой
суммы
любого
р
-
го
порядка
получается
путём
р
-
кратного
почленного
дифференцирования
ряда
.
2.9.4. Радиус
сходимости
R
степенного
ряда
(2.9.1)
можно
найти
по
одной
из
формул
:
D
R
1
=
или
K
R
1
=
, (2.9.5)
если
существует
соответствующее
«
число
Даламбера
»

Страницы