Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.)(=)()( dxxSxS
x
ϕα−
∫
α
Продифференцируем теперь обе части последнего соотношения и воспользуемся существованием производной инте-
грала с переменным верхним пределом; в нашем случае
).,( ),(=)( baxxdxx
x
∈ϕ
′
ϕ
∫
α
В результате получаем дифференцируемость
)(
xS
и
соотношение
),( ),(=))(()( baxxSxS ∈ϕ
′
α−
′
;
при
этом
0=))((
′
α
S
,
так
как
α
–
постоянная
величина
.
Утверждение
п
. 2.10.2
доказано
.
2.10.3. Рассмотрим
степенной
ряд
R∈+++++
xxaxaxaa
n
n
...,...
2
210
(2.10.3)
с
действительными
коэффициентами
...2,1,= , na
n
;
будем
употреблять
также
запись
.
0=
n
n
n
xa
∑
∞
Пересечением
круга
сходимости
}|<| :{
Rzz
степенного
ряда
комплексной
переменной
с
осью
абсцисс
является
интер
-
вал
),( RR−
,
поэтому
для
ряда
(2.10.3)
следует
вести
речь
об
интервале
сходимости
,
внутри
которого
ряд
сходится
абсо
-
лютно
,
а
вне
которого
расходится
.
Радиус
интервала
(
радиус
сходимости
)
может
быть
,
очевидно
,
и
здесь
найден
по
одной
из
формул
:
K
R
1
=
или
D
R
1
=
,
где
,
соответственно
случаю
(2.10.3),
.
||
||
lim= ,||=
1
n
n
n
n
n
a
a
DaK
+
∞→
(2.10.4)
Стоит
отметить
,
что
общая
теория
не
позволяет
судить
о
поведении
такого
ряда
в
концевых
точках
интервала
,
и
для
ка
-
ждого
конкретного
степенного
ряда
исследование
в
обеих
концевых
точках
проводят
дополнительно
.
2.10.4. Как
и
в
п
. 2.9.2–2.9.3
устанавливаем
,
что
степенной
ряд
(2.10.3)
мажорируем
на
всяком
отрезке
вида
) ,(],[ RR−⊂ρρ−
,
а
значит
,
равномерно
сходится
на
этом
отрезке
.
Отсюда
вытекает
возможность
почленного
интегриро
-
вания
ряда
по
всякому
отрезку
,
расположенному
внутри
интервала
сходимости
(
см
.
п
. 2.10.2).
Возможность
же
почленного
дифференцирования
будет
обеспечена
равномерной
сходимостью
ряда
,
составленного
из
производных
;
см
.
утверждение
п
. 2.10.2.
Достаточно
поэтому
установить
мажорируемость
ряда
...,)(...)()()(
2
210
+
′
++
′
+
′
+
′
n
n
xaxaxaa
т
.
е
.
1
1=
−
∞
∑
n
n
n
xna
(2.10.5)
на
любом
отрезке
). ,(],[ RR−⊂ρρ−
Доказательство
мажорируемости
проведем
в
предположении
,
что
существует
предел
,
обозначенный
через
D
в
(2.10.4);
следовательно
,
D
R
1
=
.
Определим
радиус
сходимости
R
~
ряда
(2.10.5).
Соответствующее
число
Даламбера
имеет
вид
||
||1)(
lim=
~
1
n
n
n
an
an
D
+
∞→
+
,1=
||
||
lim
1
lim=
1
D
a
a
n
n
n
n
nn
⋅
+
+
∞→∞→
следовательно
,
D
R
1
=
~
.
Таким
образом
,
R
R
=
~
,
и
интервалы
сходимости
рядов
(2.10.3), (2.10.5)
совпадают
.
Окончательно
имеем
мажорируемость
ряда
(2.10.5)
на
всяком
отрезке
) ,(],[ RR−⊂ρρ−
,
а
значит
и
возможность
почленного
дифференци
-
рования
исходного
степенного
ряда
(2.10.3).
Если
только
что
приведённые
рассуждения
применить
к
ряду
из
производных
(2.10.5),
то
получаем
возможность
и
его
по
-
членного
дифференцирования
в
интервале
) ,( RR−
.
Повторяя
и
далее
указанные
рассуждения
,
приходим
к
следующему
важ
-
ному
выводу
:
степенной ряд
,
обладающий суммой
)(
xS
в некотором интервале сходимости
,
можно почленно
дифференцировaть сколь угодно много раз в этом интервале
;
при этом сумма ряда из р-ых производных совпадает с
)(
)(
xS
р
.
3.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
3.1.
РЯД
МАКЛОРЕНА
3.1.1.
В
п
. 2.9.3
установлено
,
что
сумма
степенного
ряда
в
круге
его
сходимости
является
аналитической
в
этом
круге
функцией
.
Поставим
теперь
обратную
задачу
:
функцию
zfw
=
,
однозначную
и
аналитичную
в
некотором
круге
(
)
RU ;0
,
разложить
в
ряд
по
степеням
z
.
3.1.2. В условиях
п
. 3.1.1
для
любой
(
)
RUz ;0 ∈
имеет место разложение

Страницы