Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
KK +++
′′
+
′
+=
n
n
z
n
f
z
f
z
f
fzf
!
0
!
2
0
!
1
0
0
2
. (3.1.1)
Это утверждение будет доказано ниже, в п. 3.1.4. Представление функции
(
)
zf
в виде суммы ряда (3.1.1) называется её раз-
ложение в ряд Маклорена.
3.1.3. Другая форма (3.1.1) оказывается следующей:
( )
n
n
n
zCzf
∑
∞
=
=
0
, (3.1.2)
где
(
)
∫
γ
+
π
=
1
2
1
n
n
s
dssf
i
C
; (3.1.3)
γ
– любая окружность с центром в точке
0
z
= 0, обходимая против часовой стрелки и целиком лежащая в круге
(
)
RU ;0
.
Разложения (3.1.1) и (3.1.2) эквивалентны, так как коэффициенты при ,
n
z записываемые в виде
(
)
(
)
!
0
n
f
n
, совпадают с правой
частью (3.1.3):
(
)
(
)
(
)
( )
∫
γ
+
−
π
=
1
0
2
1
!
0
n
n
s
dssf
in
f
ввиду формулы (1.6.6) для
(
)
(
)
0
n
f
.
3.1.4. Итак, достаточно доказать справедливость (3.1.2), (3.1.3). Так как
(
)
zf
аналитична в
(
)
RU
;0
, то по формуле Коши
∫
γ
−
π
ds
s
z
s
sf
i
zf
1
1)(
2
1
=)(
, (3.1.4)
где
z
– произвольная точка в
(
)
RU
;0 , а окружность
γ
с центром в точке 0
0
=
z
проведена так, что
z
расположена внутри её.
При таком выборе контура интегрирования (рис. 3.1.1)
sz
<
, т.е.
s
z
q
=
обладает свойством 1
<
q
.
Рис. 3.1.1
Теперь
KK +++++=
−
n
qqq
q
2
1
1
1
(3.1.5)
является сходящимся рядом как сумма геометрической прогрессии. Под знаком интеграла (3.1.4) получается ряд (по степе-
ням
s
z
), сходящийся при каждом
z
:
( )
( )
=
+++++
π
=
∫
γ
ds
s
z
s
z
s
z
s
sf
i
zf
n
n
KK
2
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫ ∫∫
γ
+
γ γγ
+
π
++
π
+
π
+
π
= KK
ds
s
sf
z
i
ds
s
sf
z
i
ds
s
sf
z
i
ds
s
sf
i
n
n
13
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
;
(3.1.6)
почленное интегрирование возможно в силу утверждения п. 2.9.3, условия которого выполнены, так как:
а)
(
)
zf
аналитична в
(
)
RU
;0 , и, следовательно, существует постоянная
M
, такая что
(
)
Msf
≤ на
γ
;
б)
,const== rs где
r
– радиус выбранной окружности
γ
;
в) ряд вида
( )
n
n
s
z
s
sf
∑
∞
=
0

Страницы