Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

имеет тогда в качестве мажорантного сходящийся числовой ряд
,
0
∑
∞
=
n
n
q
r
M
где
1<
q
.
Разложение (3.1.6) теперь совпадает с (3.1.2), если учесть определение (3.1.3) коэффициентов
n
C
. Соотношения (3.1.1) и
(3.1.2) доказаны.
Заметим, что контур интегрирования в доказательстве мы выбрали так, чтобы точка
z
была заключена внутри его. Од-
нако, согласно теореме Коши для двухсвязной области (см. п. 1.5.2), в качестве
γ
можно выбрать
любую
окружность с цен-
тром в 0, лежащую в
(
)
RU
;0
.
3.1.5 Функции
zwzwew
z
cos= ,sin= ,= являются (см. п. 1.3.6) аналитическими во всей комплексной плоскости и, сле-
довательно, могут быть разложены в ряд Маклорена во всяком круге с центром в начале координат, а значит, в каждой точке
z
комплексной плоскости. Соответствующие разложения имеют вид
KK +++++=
!
!
2
!
1
1
2
n
zzz
e
n
z
, (3.1.7)
( )
( )
KK +
+
−+−+−=
+
!12
1
!5!3
sin
1253
n
zzz
zz
n
n
, (3.1.8)
( )
( )
KK +−+−+−=
!2
1
!4!2
1cos
242
n
zzz
z
n
n
(3.1.9)
Докажем, например, соотношение (3.1.7). Для этого вычислим коэффициенты
...2,1,= ,
!
(0)
= (0),=
)(
0
n
n
f
cfc
n
n
ряда
Маклорена. Имеем
,1==...=(0)=...=(0)=(0)=(0)
,=...=)(=...=)(=)(=)(
0)(
)(
effff
ezfzfzfzf
n
zn
′′′
′′′
так что
!
1
=
n
c
n
. Теперь разложение (3.1.1) функции
z
ezf
=)(
принимает вид (3.1.7), что и утверждалось.
Рассуждения в случаях (3.1.8), (3.1.9) аналогичны.
3.1.6. Список разложений основных элементарных функций в степенные ряды можно дополнить. Например,
( ) ( )
.1,
1
1
3
2
1
132
<+
+
−+−+−=+
+
z
n
zzz
zzn
n
n
KKl (3.1.10)
Действительно, положив в соотношении (3.1.5)
z
q
−
=
, |
z
|<1 и проинтегрировав результат почленно от точки 0 до точки
z
(вдоль любого гладкого пути, лежащего в указанном круге), приходим к разложению (3.1.10).
3.1.7. Разложение (3.1.1) функции, аналитической в круге
(
)
RU
;0
, справедливо, в частности, для всех значений дейст-
вительной переменной
),(
RRx
−
∈
:
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
KK
+++
′′
+
′
+=
n
n
x
n
f
x
f
x
f
fxf
!
0
!
2
0
!
1
0
0
2
(3.1.11)
В
общем
случае
функции
)(
xf
действительного
переменного
x
,
дифференцируемой
сколь
угодно
много
раз
в
некото
-
рой
окрестности
нуля
,
может
быть
доказано
следующее
утверждение
:
если
существует
постоянная
M
,
такая
что
|)(||)(|
)(
xfxf
n
+
М
≤
(
n
= 1, 2, …)
для
всех
),(
RRx
−
∈
,
то
в
каждой
такой
точке
x
имеет
место
разложение
Маклорена
(3.1.11).
3.2.
РЯД
ТЕЙЛОРА
3.2.1. Если
(
)
zfw
=
однозначна
и
аналитична
в
некотором
круге
G
с
центром
в
точке
0
z
,
то
рассуждения
,
аналогичные
приведённым
в
п
. 3.1.4,
позволяют
разложить
(
)
zf
в
этом
круге
в
ряд
по
степеням
разности
(
)
0
zz
−
:
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
KK
+−++−
′′
+−
′
+=
n
n
zz
n
zf
zz
zf
zz
zf
zfzf
0
0
2
0
0
0
0
0
!
!
2
!
1
;
(3.2.1)
разложение
(3.2.1)
называется
рядом
Тейлора
.
Другая
его
форма
оказывается
следующей
:
( )
( )
n
n
n
zzCzf
0
0
−=
∑
∞
=
, (3.2.2)
где
(
)
( )
∫
γ
+
−
π
=
1
0
2
1
n
n
zs
dssf
i
C
;
γ
–
любая
окружность
с
центром
в
точке
0
z
,
обходимая
против
часовой
стрелки
и
целиком
лежащая
в
G
(
см
.
рис
. 3.1.1).

Страницы