Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3.3.1
Рассуждения, приводящие к разложению
(
)
zf
в ряд (3.4.1), будут носить тот же характер, что в параграфе 3.1. Прове-
дём внутри кольца окружность
γ
и
Γ
с центром в точке
0
z
так, чтобы
z
оказалась внутренней точкой в новом кольце (т.е.
между
γ
и
Γ
); пусть
c
– окружность (с центром в точке
z
) столь малого радиуса, что также расположена между
γ
и
Γ
. В
этом случае справедлива следующая формула (аналог теоремы Коши для двухсвязной области):
(
)
(
)
(
)
∫ ∫∫
γΓ
−π
+
−π
=
−π
c
ds
zs
sf
i
ds
zs
sf
i
ds
zs
sf
i
2
1
2
1
2
1
.
По интегральной формуле Коши
(
)
( )
∫
=
−π
c
zfds
zs
sf
i
,
2
1
следовательно,
( )
( ) ( )
.
2
1
−
−
−π
=
∫ ∫
Γ γ
ds
zs
sf
ds
zs
sf
i
zf
(3.3.3)
Представим дробь
z
s
−
1
на окружности
Γ
в виде
( ) ( )
∑
∞
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−−−
=
−
0
0
0
0
0
0
000
,
1
1
1111
n
n
zs
zz
ss
zs
zz
sszzzszs
так как при
0
0
zs
zz
q
−
−
=
на
Γ
имеем
1<
q
, а значит
∑
∞
=
=
−
0
1
1
n
n
q
q
.
Подобным образом на окружности
γ
:
m
m
zz
zs
zz
zz
zs
zzzs
−
−
−
−=
−
−
−
−
−
=
−
∑
∞
=
0
0
0
0
0
0
0
1
1
111
,
так как
0
0
zz
zs
q
−
−
=
обладает свойством
1<
q
на
γ
.
Почленно интегрируя в (3.3.3) полученные ряды (обоснование почленного интегрирования было приведено в параграфе
3.1), находим
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
.
1
2
1
2
1
0
1
00
0
0
1
0
∑
∫
∑
∫
∞
=
+
γ
−
∞
=
Γ
+
−
−
π
+
+−
−
π
=
m
mm
n
n
n
zz
ds
zs
sf
i
zzds
zs
sf
i
zf
(3.3.4)
Если во второй сумме изменить нумерацию по формуле
1
+
=
mn
и обозначить
(
)
( )
∫
Γ
+
−
π
= ,
2
1
1
0
ds
zs
sf
i
C
n
n
(
)
( )
∫
γ
+−
−
−
π
= ,
2
1
1
0
ds
zs
sf
i
C
n
n

Страницы