Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2
.
( )
z
zzf
1
cos
3
=
разложить по степеням
z
.
Решение
. Функция
(
)
zf
аналитична при всех
0
≠
z
, т.е. для
0>
z
. В этой области воспользуемся разложением Макло-
рена функции
w
cos
(см. (3.1.9)) при
z
w
1
=
:
( )
( )
KK +−+−+−=
n
n
znzz
z
242
!2
1
1
!4
1
!2
1
1
1
cos
Почленно умножая на
3
z
, получаем разложение
( ) ( )
( )
.0;
!2
1
1
!4
1
!2
32
3
>+−+−+−=
−
z
zn
z
z
zzf
n
n
KK
3.4. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
3.4.1. Особая точка
0
z
функции
(
)
zf
, т.е. точка, в которой
(
)
zf
не аналитична, называется
изолированной
,
если в неко-
торой окрестности
0
z
не существует других особых точек для
(
)
zf
. Другими словами,
(
)
zf
аналитична в некоторой окре-
стности точки
0
z
, но не в самой этой точке.
Окрестностью точки
0
z
служит "кольцо" вида
201
RzzR
<−<
, для которого
0
1
=
R
. Разложение Лорана
(
)
zf
в этом
"кольце" называем
рядом
Лорана
в
окрестности
данной
изолированной
особой точки.
Будем называть ряд
(
)
(
)
KK +−++−+
n
n
zzCzzCC
0010
(3.4.1)
правильной
частью, а ряд
( ) ( )
KK +
−
++
−
+
−
−
−−
n
n
zz
C
zz
C
zz
C
0
2
0
2
0
1
(3.4.2)
–
главной
частью ряда Лорана
( )
( )
∑
∞
−∞=
−=
n
n
n
zzCzf
0
. (3.4.3)
Возможны случаи:
а) ряд Лорана (3.4.3) состоит из своей правильной части, т.е.
,0
21
=====
−−−
KK
n
CCC
тогда точку
0
z
называем
устранимой
особой точкой (из дальнейших рассуждений станет ясно, почему выбран такой тер-
мин);
б) главная часть ряда Лорана содержит только конечное число ненулевых членов; например, она имеет вид
( ) ( )
,
0
2
0
2
0
1
n
n
zz
C
zz
C
zz
C
−
++
−
+
−
−
−−
K
т.е.
.0
21
===
−−−−
K
nn
CC
В этом случае точку
0
z
называем
полюсом
n-
го
порядка
; в частности, при
1
=
n
–
простым
полюсом
;
в) если главная часть (3.4.2) имеет бесконечное количество ненулевых членов, то точка
0
z
называется
существенно
особой
.
3.4.2. Рассмотрим случай а). Имеет место
Теорема
1
. Если в некоторой окрестности особой точки
0
z
функция
(
)
zf
ограничена, т.е. существует постоянная
M
,
такая что
(
)
Mzf
<
во всех точках этой окрестности, то
0
z
– устранимая особая точка.
Достаточно доказать, что
0=
−
n
C
для всех
K,2,1
=
n
.
Имеем
согласно
(3.3.6)
для
произвольной
окружности
l
с
цен
-
тром
в
точке
0
z
радиуса
ρ
(
столь
малого
,
что
окружность
l
целиком
расположена
в
указанной
окрестности
),
что
( )
( )
n
nn
n
MMdz
zz
zf
i
C ρ=πρ
ρ
π
≤
−
π
=
+−+−
−
∫
2
1
2
1
2
1
11
0
l
,
(
см
.
свойства
интеграла
в
п
. 1.4.2).
В
силу
произвольной
малости
ρ
все
0=
−
n
C
,
что
и
утверждалось
.
Итак
,
в
окрестности
устранимой
особой
точки
0
z
( ) ( ) ( )
KK +−++−+=
n
n
zzCzzCCzf
0010
(3.4.4)
Если
в
точке
0
z
доопределить
функцию
(
)
zf
суммой
этого
ряда
при
0
zz
=
,
т
.
е
.
положить
(
)
00
Czf
=
,
то
(3.4.4)
как
сумма
степенного
ряда
в
круге
Rzz
<−
0
будет
аналитична
(
в
том
числе
,
аналитична
и
в
точке
0
z
).
Тем
самым
мы
как
бы
устра
-
нили
"
особенность
"
в
точке
0
z
,
сделав
эту
точку
правильной
.
Например
,
при
0
≠
z
из
соотношения
(3.1.8)
получаем

Страницы