Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
( )
( )
,
1
0
n
zz
z
zf
−
ϕ
=
где
( )
z
ϕ
1
аналитична в точке
0
z
, так как
(
)
0
0
≠ϕ
z
. Следовательно,
(
)
zf
имеет вид (3.4.5), а тогда, по теореме 2,
0
zz
=
–
полюс
n
-го порядка.
3.4.5. Рассмотрим, наконец, случай в) существенно особой точки
0
zz
=
. Поведение
(
)
zf
в её окрестности описывается
следующей теоремой Сохоцкого-Вейерштрасса.
Теорема 4.
Для любого
0
>
ε
и любого комплексного числа
B
в каждой окрестности существенно особой точки
0
z
найдётся хотя бы одна точка
z
, такая что
(
)
ε<−
Bzf
.
Смысл теоремы состоит в том, что в достаточно малых окрестностях существенно особой точки функция
(
)
zf
может
принять значение, сколь угодно близкое к наперёд заданному произвольному числу
B
.
Предположим противное: для заданных
B
и
0
>
ε
найдётся такая окрестность
U
точки
0
z
, что
(
)
ε≥−
Bzf
при всех
Uz
∈
.
Но тогда функция
( )
( )
Bzf
zg
−
=
1
(3.4.8)
определена и ограничена в указанной окрестности точки
0
z
, так как
( )
( )
ε
≤
−
=
11
Bzf
zg
.
Следовательно, согласно теореме 1, точка
0
z
является устранимой особой точкой для
(
)
zg
. Тогда при
0
zz
≠
функция
(
)
zg
есть сумма степенного ряда (3.4.4), т.е. равна некоторой аналитической функции. При этом не исключено, что первые не-
сколько коэффициентов
K,,
10
CC
в (3.4.4) равны нулю, т.е.
(
)
(
)
(
)
zzzzg
m
ϕ−=
0
при некотором
(
)
0;,1,0
0
≠ϕ= zm K
.
Согласно (3.4.8)
( )
( )
( )
( )
z
zz
B
zg
Bzf
m
ϕ
−
+=+=
111
0
. (3.4.9)
Функция
( )
z
ϕ
1
является аналитичной в окрестности точки
0
z
. Действительно, вместе с
(
)
0
0
≠ϕ
z
все значения
(
)
z
ϕ
из доста-
точно малой окрестности
0
z
остаются ненулевыми, поскольку
(
)
z
ϕ
аналитична, а значит и непрерывна в этой окрестности.
Согласно (3.4.9) для
(
)
zfm
0=
ограничена в окрестности точки
0
z
, т.е.
0
z
– устранимая особая точка; для
0
≠
m
(3.4.9)
означает, что
0
z
– полюс
m
-го порядка. В обоих случаях получаем противоречие с условием теоремы.
В иной форме теорема Сохоцкого-Вейерштрасса звучит так: если
0
z
– существенно особая точка функции
(
)
zf
, то для
любого комплексного числа
B
найдётся последовательность точек
k
z
, такая что
0
zz
k
→
и
(
)
Bzf
k
k
=
∞→
lim .
Найдётся также и последовательность
0
zz
k
→
, такая что
(
)
∞=
∞→
k
k
zf
lim
.
3.4.6.
Пример
. Определить характер каждой особой точки функции
а)
( )
( )
3
2
4+
=
z
z
zf
; б)
( )
z
z
zf
1
ln
+
=
.
Решение
.
а) Запишем
(
)
zf
в виде
( )
( )
( )
( ) ( )
333
2
2
22
2
iziz
z
iz
z
zf
+−
=
−
=
.
Изолированными особыми точками являются
iz
2
1
=
и
iz
2
2
−=
. Рассмотрим случай
1
z
:
( )
( ) ( )
(
)
( )
333
222
1
iz
z
iz
z
iz
zf
−
ϕ
=
+−
=
, где
( )
( )
3
2
iz
z
z
+
=ϕ
.

Страницы