Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

руются около некоторого числа, которое называется
вероятностью случайного события
А
и обо-
значается символом
(
)
AP
.
Такое определение вероятности весьма неопределённо. Более точное описание вероятности
возможно в случае построения
математической модели
случайного явления. Раздел математики,
предметом изучения которого являются математические модели случайных явлений, называется
теорией вероятностей
.
4.3. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ
Предположим, что в результате некоторого испытания могут наступать как
элементарные
(
неразложимые
)
события
n
ωωω ,,,
21
K
, так и
составные события
, состоящие из нескольких элементарных. Например, событие
{
}
k
iii
A ωωω= ,,,
21
K
состоит из
(
)
nkk ≤
элементарных. В дальнейшем под составными событиями будем подразумевать
просто события, обозначая их большими буквами латинского алфавита. Совокупность всех элементарных событий
{
}
n
ωωω=Ω ,,,
21
K
называется
конечным
пространством элементарных событий
.
Пример 1
. Испытание состоит в подбрасывании игральной кости, на гранях которой отмечены числа от 1 до 6 . Если че-
рез
i
ω
обозначить событие, состоящее в выпадении
i
очков, то элементарными событиями являются события
654321
,,,,, ωωωωωω
, которые и образуют пространство элементарных событий
Ω
. В таком случае составное событие
{
}
531
,,
ωωω=
A
означает, что выпало нечётное число очков.
Пример 2.
Испытание – бросание двух игральных костей. Пространство элементарных событий состоит из
2
6
элемен-
тарных событий
ij
ω и может быть записано так:
{
}
6,,2,1,: K
=ω=Ω
ji
ij
. Тогда составные события
{
}
5142332415
,,,,
ωωωωω=
A
и
{
}
61322316
,,,
ωωωω=
B
означают, что сумма и произведение выпавших чисел равны 6.
Рассмотрим случай
счётного пространства элементарных событий
{
}
KK ,,,,
21
n
ωωω=Ω , где
n
– натуральное число.
Здесь уже составное событие
{
}
KK ,,,,
21 k
iii
A
ωωω= может и не состоять из конечного числа элементарных событий.
Пример 3.
Артиллерийское орудие стреляет по цели до тех пор пока она не будет поражена. Под элементарным событи-
ем
n
ω понимаем событие, когда на поражение цели потребовалось
n
выстрелов, т.е. ни в одном из первых
n
– 1 выстрелов
цель не была поражена. Составное событие
{
}
KK ,,,,
242
k
A
ωωω= означает, что на поражение цели потребуется чётное
число выстрелов.
Более общий случай пространства элементарных событий изложим на следующем примере.
Пример 4
. Испытание состоит в стрельбе по плоской квадратной мишени. Введём декартову систему координат
xOy
с
центром в середине квадрата, направив оси координат параллельно его сторонам, длины которых равны 2
а
. Элементарными
событиями в этом испытании являются точки мишени
(
)
yx,
=ω . Тогда пространство элементарных событий можно пред-
ставить в виде
(
)
{
}
,,:, ayaaxayx
≤≤−≤≤−=Ω (4.3.1)
Произведением
событий
А
и
В
называется событие
АВ
(или
B
A
∩
), состоящее из элементарных событий, принадле-
жащих и
А
и
В
, т.е., если
AB
∈
, то
A
∈
и
B
∈
. Событие
АВ
означает, что события
А
и
В
произошли одновременно,
что наглядно показано на рис. 4.4.1,
б
.
Разностью
событий
А
и
В
называется событие
B
A
−
(или
BA
\
), состоящее из элементарных событий, принадлежащих
А
и не принадлежащих
В
, т.е., если
BA
−
∈
, то
A
∈
и
B
∉
. Событие
B
A
−
означает, что событие
А
произошло, а
В
не
произошло. Сказанное иллюстрируется рис. 4.4.1,
в
.
Событие
A
называется
противоположным
событию
А
(рис. 4.4.1,
г
), если
A∈ω
и
A
∉
, т.е.
Ω
=
+
A
A
. Событие
A
оз-
начает, что событие
А
не произошло.
Событие называется
достоверным
, если оно всегда происходит. Ясно, что
Ω
является достоверным событием. Событие
∅ называется
невозможным
, если оно никогда не происходит. Отметим полезные соотношения, связывающие эти понятия:
.,
∅=Ω=∅,∅=Ω
AA (4.4.1)
а событие, состоящее в попадании в круг радиуса
a
r
<
с центром в точке
О
, можно записать так:
(
)
{
}
.:,
22
ryxyxA ≤+=
(4.3.2)
4.4. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ
Рассмотрим пространство элементарных событий
Ω
и некоторые два события
А
и
В
, состоящие из элементарных собы-
тий
Ω
∈
.
Суммой
событий
А
и
В
называется событие
B
A
+
(используется также обозначение
B
A
∪
), состоящее из элементар-
ных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий
А
или
В
, т.е., если
BA
+
∈
, то
A
∈
или
B
∈
. Событие
B
A
+
означает, что произошло событие
А
или
В
, или оба события одновременно.
Введённое понятие суммы событий можно наглядно иллюстрировать с помощью примера 4. Пусть событиями
А
и
В
являются попадания соответственно в большой и малый круги (рис. 4.4.1). В таком случае событием
B
A
+
является заштри-
хованная область на рис. 4.4.1,
а
.

Страницы