Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

События
А
и
В
называются
несовместными
, если
∅
=
AB
. Например, события
А
и
В
, описанные в примере 2, несовме-
стны. Более общее определение формулируется следующим образом. События
KK ,,,,
21 n
AAA
называются
попарно несо-
вместными
, если ∅=
ji
AA при любых
ji
≠
.
Под обозначением
B
A
⊂
(или
A
B
⊂
) понимаем, что событие
А
влечёт за собой
В
, т.е. из наступления события
А
вы-
текает
В
(или на-
оборот). Если
B
A
⊂
и
A
B
⊂
, то говорят, что события
А
и
В
равносильны
(
эквивалентны
) и пишут
B
A
=
. В качестве упражнения, закрепляющего эти
определения, можно доказать следующие равенства:
(
)
., BCACCBABABA +=+=+
(4.4.2)
4.5. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Рассмотрим пространство элементарных событий
Ω
и его некоторый класс подмножеств
Е
. Этот класс подмножеств
называется
алгеброй событий
, если
∈
Ω
,
B
A
∈
+
,
AB
∈
и
B
A
∈
−
для любых
A
∈
,
B
∈
.
Теперь мы можем дать определение вероятности.
Вероятностью называется числовая функция
Р
,
определённая на ал-
гебре событий
Е
, при условии выполнения следующих аксиом:
А1.
Аксиома неотрицательности
.
(
)
0≥AP
для любого
A
∈
. (4.5.1)
А2.
Аксиома нормированности
.
(
)
1=ΩP
. (4.5.2)
А3.
Аксиома аддитивности
.
(
)
(
)
(
)
BPAPBAP +=+
, (4.5.3)
если
А
и
В
несовместные события.
Замечание 1
. Относительная частота
(
)
Ah
m
события
А
удовлетворяет аксиомам А1 – А3. Действительно, согласно
(4.2.1) имеем
( ) ( )
,1,0 ===Ω≥=
Ω
m
m
m
m
h
m
m
Ah
m
A
m
( ) ( ) ( )
,BhAh
m
m
m
m
m
m
BAh
mm
BABA
m
+=+==+
+
где
BA
mm ,
и
BA
m
+
обозначают число испытаний, в которых происходят события
А
,
В
и
B
A
+
. При этом
BABA
mmm +=
+
,
так как события
А
и
В
несовместны.
В случае бесконечных последовательностей событий аксиомы А1 – А3 необходимо допол-
нить следующей аксиомой:
А4.
Расширенная аксиома аддитивности
.
( ) ( )
,,
11
EAAAPAP
n
n
n
n
∈==
∑∑
∞
=
∞
=
(4.5.4)
если
KK ,,,,
21 n
AAA
попарно несовместные события.
Тройку
(
)
PE,,Ω
называют
вероятностным пространством
, если вероятность
Р
удовлетворяет аксиомам А1 – А4, а ал-
гебра событий
Е
дополнительно содержит счётные суммы и произведения событий.
Сформулируем следствия из аксиом теории вероятностей.
Следствие 1
. Вероятность противоположного события равна
(
)
(
)
.1
APAP −=
(4.5.5)
Поскольку
Ω
=
+
A
A
, то из аксиом А2 и А3 имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
,1
APAPAAPP +=+=Ω=
откуда вытекает формула (4.5.5).
Рис. 4.4.1
а
)
б
)
в
)
г
)

Страницы