Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 2.
Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.
(
)
0=∅P
.
Доказательство следует из равенств (4.4.1), (4.5.5) и аксиомы А2:
(
)
(
)
(
)
,0111 =−=Ω−=Ω=∅ PPP
Следствие 3.
Для произвольных событий
А
и
В
имеет место равенство
(
)
(
)
(
)
(
)
.ABPBPAPBAP −+=+
(4.5.6)
Представим события
B
A
+
и
В
в виде суммы несовместных событий:
B
A
A
B
A
+
=
+
и
B
A
AB
B
+
=
, что можно
проиллюстрировать с помощью примера 4, понимая под событиями
А
и
В
попадание соответственно в большой и малый
круги (рис. 4.5.2). Используя далее аксиому А3, получим
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.,
BAPABPBPBAPAPBAP +=+=+
Вычитая из первого равенства второе, находим
(
)
(
)
(
)
(
)
,
ABPAPBPBAP −=−+
откуда следует требуемая формула.
Рис. 4.5.1
Формулу (4.5.6) можно распространить и на большее число событий. Например, для трёх событий
А
,
В
,
С
имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
−++=++ CPBPAPCBAP
(4.5.7)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
ABCPBCPACPABP +−−−
Следствие 4.
Для произвольных событий
А
и
В
имеет место неравенство
(
)
(
)
(
)
.
BPAPBAP +≤+
(4.5.8)
Доказательство вытекает из (4.5.6) и аксиомы А1.
4.6. КОНЕЧНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
В предыдущем параграфе было введено понятие вероятностного пространства
(
)
PE
,,
Ω
. Теперь мы рассмотрим не-
сколько частных случаев вероятностных пространств.
Пусть
n
ωωω=Ω
,,,
21
K
– конечное пространство элементарных событий, а
Е
– алгебра событий, т.е. множество
всех подмножеств
Ω
. Каждому элементарному событию
i
ω
поставим в соответствие некоторое число
(
)
0
≥ω
i
p
, которое
будем называть
элементарной вероятностью
. При этом элементарные вероятности должны удовлетворять условию
( )
.1
1
=ω
∑
=
n
i
i
p
(4.6.1)
Рассмотрим составное событие
k
iii
A ωωω= ,,,
21
K
. Вероятностью события
E
A
∈
называется число
(
)
AP
, опреде-
ляемое формулой
( )
(
)
( )
,
1
∑∑
∈ω=
ω=ω=
A
k
j
i
ppAP
j
(4.6.2)
т.е. вероятность события
А
равна сумме вероятностей элементарных событий
A
∈
ω
.
Нетрудно проверить, что в силу соотношений (4.6.1), (4.6.2) аксиомы А1 – А3 выполняются. Действительно,
(
)
0≥AP
для каждого
E
A
∈
;
( ) ( )
;1
1
=ω=Ω
∑
=
n
i
i
pP
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
BPAPpppBAP
BABA
+=ω+ω=ω=+
∑
∑
∑
∈ω∈ω+∈ω
,
если
.
∅
=
AB
Таким
образом
,
конечное
вероятностное
пространство
,
которое
будем
также
называть
конечной схемой
,
построено
.
Изучим
подробнее
важный
случай
конечной
схемы
с
приложением
к
явлениям
,
в
которых
элементарные
вероятности
одинаковы
,
т
.
е
.
(
)
np
/1
=ω
для
каждого
Ω
∈
ω
.
Тогда
из
формулы
(4.6.2)
вытекает
что
и
требовалось
доказать
.

Страницы