Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
.
1
1
n
k
n
AP
k
j
==
∑
=
(4.6.3)
Формулу (4.6.3) нередко называют
классическим определением вероятности
и она выражает тот факт, что вероятность
составного события
А
равна отношению числа элементарных событий
A
∈
ω
к общему числу элементарных событий.
Пример 5.
В урне находятся
L
шаров, из них
М
белых и
M
L
−
чёрных шаров. Какова вероятность того, что среди
l
вы-
бранных шаров окажется
m
белых и
ml
−
чёрных шаров? В качестве элементарных событий рассматриваем все выборки из
L
шаров по
l
. Число элементарных событий
n
пространства
Ω
можно найти, воспользовавшись формулой для числа сочета-
ний из
L
элементов по
l
(п. 4.1), т.е.
l
L
Cn =
. Число элементарных событий, входящих в интересующее нас событие
m
A
опре-
делим по следующей двухступенчатой схеме. Вначале составляем выборки из одних белых шаров, число которых есть
m
M
C
.
Затем отдельно подсчитываем все выборки из чёрных шаров, которых будет
ml
ML
C
−
−
. Таким образом, находим
ml
ML
m
M
CCk
−
−
=
.
Поскольку элементарные события равновероятны, то в силу классического определения вероятности (4.6.3) имеем
( ) ( )
.,,,
l
L
ml
ML
m
M
m
C
CC
LMlmPAP
−
−
==
(4.6.4)
4.7. СЧЁТНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Рассмотрим более общий случай пространства элементарных событий. Пусть
{
}
KK ,,,,
21 n
ωωω=Ω
– счётное про-
странство элементарных событий и
Е
– множество всех его подмножеств. Элементарным событиям
n
ω
поставим в соответ-
ствие, как и прежде, элементарные вероятности
(
)
0≥ω
n
p
, удовлетворяющие следующему условию:
( )
.1
1
=ω
∑
∞
=n
n
p
(4.7.1)
Вероятностью события
{
}
EA
k
iii
∈ωωω= KK ,,,,
21
называется число
(
)
AP
, определяемое формулой
( )
( )
( )
,
1
∑∑
∈ω
∞
=
ω=ω=
Ak
i
ppAP
k
(4.7.2)
т.е. в общем случае вероятность события
А
равна сумме ряда, составленного из элементарных вероятностей
(
)
Ap ∈ωω ,
.
Повторяя рассуждения конечной схемы (п. 4.6) можно убедиться, что все аксиомы, включая расширенную аксиому ад-
дитивности, выполняются. Таким образом, счётное вероятностное пространство, которое нередко называют
счётной схемой
,
построено.
Пример 6.
Обратимся к рассмотренной в примере 3 задаче об артиллерийском орудии. Напомним, что элементарное со-
бытие
n
ω
означает, что в первых
1
−
n
выстрелах цель не поражена, в последнем же
n
-м выстреле – попадание в цель. Веро-
ятность попадания в цель при каждом выстреле одинакова и равна
р
, тогда вероятность промаха будет
pq
−
=
1
.
В
качестве
элементарных
вероятностей
принимаем
набор
чисел
(
)
1−
=ω
n
n
pqp
,
справедливость
которого
легко
обосновать
,
исходя
из
понятия
последовательности
независимых
испытаний
(
п
4.11).
Заметим
,
что
выбранные
нами
элементарные
вероятности
удовлетворяют
условию
(4.7.1).
Действительно
,
с
учётом
известной
формулы
для
суммы
ряда
,
составленного
из
членов
убы
-
вающей
геометрической
прогрессии
,
имеем
( )
∑∑
∞
=
−
∞
=
=
−
==ω
1
1
1
.1
1
n
n
n
n
q
p
qpp
Далее
,
с
использованием
определения
(4.7.2)
находим
вероятность
описанного
в
примере
3
события
А
(
на
поражение
цели
потребуется
чётное
число
выстрелов
):
( ) ( )
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
==ω=
1
2
12
1
2
.
1
k
k
k
k
q
pq
qppAP
4.8.
НЕПРЕРЫВНОЕ
ВЕРОЯТНОСТНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
Определение
непрерывного
вероятностного
пространства
в
общем
случае
использует
понятия
,
которые
выходят
за
рам
-
ки
стандартного
курса
математики
для
инженерно
-
технических
специальностей
вузов
.
Однако
один
частный
случай
может
быть
рассмотрен
с
помощью
примера
4,
где
в
качестве
пространства
элементарных
событий
Ω
выбран
квадрат
со
сторонами
2
а
.
При
этом
элементарными
событиями
являются
точки
квадрата
(
)
yx,=ω
(
рис
. 4.8.1).

Страницы