Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
(
)
.BPAPABP =
(4.9.4)
Другой подход связан с понятием условной вероятности. Сравнивая формулы (4.9.1) и (4.9.4), замечаем, что формула
(4.9.4) равносильна следующей формуле:
( )
(
)
( )
( ) ( )
.0,| >== APBP
AP
ABP
ABP
По аналогии имеем
( )
(
)
( )
( ) ( )
.0,| >== BPAP
BP
ABP
BAP
Определение 3.
События
А
и
В
независимы
тогда и только тогда, когда условные вероятности этих событий совпадают
с их
безусловными
вероятностями.
Это определение можно обобщить на случай нескольких событий.
Определение 4.
События
n
AAA ,,,
21
K
называются
независимыми в совокупности
, если для всех
niii
k
≤<<<≤ K
21
1
,
где
nk ,,3,2 K=
, имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
.
2121 kk
iiiiii
APAPAPAAAP KK =
(4.9.5)
Если равенство (4.9.5) справедливо только для
2
=
k
, то события
n
AAA ,,,
21
K
называются
попарно независимыми
.
Для практики полезно отметить, что независимость событий
А
и
В
влечёт за собой независимость противоположных
событий
A
и
B
. Это соображение нередко позволяет упростить вычисление вероятностей.
Пример 8.
Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого
стрелка равна
р
, для второго
q
. Определим систему событий:
А
– попадание первого стрелка в цель,
В
– попадание второго
стрелка в цель. Так как в условии говорится о независимых событиях
А
и
В
, а значит о независимых противоположных со-
бытиях
A
и
B
, то вероятности событий
АВ
(цель поражена обоими стрелками) и
B
A
(цель не поражена ни одним из
стрелков) равны
(
)
(
)
(
)
,
pqBPAPABP
==
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.11 qpBPAPBAP −−==
Для полноты картины найдём вероятности событий
B
A
+
(хотя бы один стрелок попадет в цель) и
B
A
B
A
+
(только один
стрелок попадет в цель). Применяя формулу (4.5.6) и аксиому аддитивности А3, поскольку события
B
A
и
B
A
являются
несовместными, получим
(
)
(
)
(
)
(
)
,
pqqpABPBPAPBAP
−+=−+=+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.11
pqqpBPAPBPAPBAPBAPBABAP
−+−=+=+=+
4.10. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА
Рассмотрим пространство элементарных событий
Ω
и некоторую группу событий
miA
i
,,2,1,
K
=Ω∈
.
Определение
5. События
m
AAA
,,,
21
K
образуют
полную группу
, если
m
AAA
+++=Ω
K
21
и
∅=
ji
AA
при любых
ji
.
Утверждение 1
. Если события
m
AAA
,,,
21
K
образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1, т.е.
( )
.1
1
∑
=
=
m
i
i
AP
(4.10.1)
Формула (4.10.1) непосредственно вытекает из аксиом вероятностей А2, А3 и определения 5. Действительно,
( ) ( )
,1
11
∑∑
==
=
=Ω=
m
i
i
m
i
i
APAPP
что и требовалось доказать.
Полученная формула часто применяется для контроля расчёта вероятностей, позволяя обнаружить неверно введённую
«полную» группу событий.
Утверждение 2
. Если события
m
AAA ,,,
21
K
образуют полную группу и событие
Ω
∈
B
, тогда имеет место
формула
полной вероятности
( ) ( ) ( )
.|
1
i
m
i
i
ABPAPBP
∑
=
=
(4.10.2)
Для доказательства формулы (4.10.2) представим событие
В
в виде суммы попарно несовместных событий
,
21
BABABAB
m
+++= K
отсюда, принимая во внимание аксиому аддитивности А3 и правило умножения вероятностей (4.9.2), получим требуемую
формулу
( ) ( ) ( ) ( )
.|
111
i
m
i
i
m
i
i
m
i
i
ABPAPBAPBAPBP
∑∑∑
===
==
=

Страницы