Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 2
. События
m
AAA ,,,
21
K
из формулы полной вероятности обычно называют
гипотезами
. Смысл этого на-
звания проясняется в следующем примере.
Пример 9
. Обратимся к сформулированной в примере 7 задаче об урнах. Теперь только нам неизвестен цвет шара, пере-
кладываемого из первой урны во вторую. Найдём вероятность события
В
, состоящего в том, что выбранный из второй урны
шар является белым. В качестве гипотез
1
A
и
2
A
введём выбор соответственно белого и чёрного шара из первой урны. Ве-
роятности этих гипотез равны
( ) ( )
,,
1
11
2
1
1
1
L
ML
AP
L
M
AP
−
==
и удовлетворяют условию (4.10.1). По формуле полной вероятности находим
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=+=
2211
|| ABPAPABPAPBP
(4.10.3)
.
11
1
2
2
1
11
2
2
1
1
+
−
+
+
+
=
L
M
L
ML
L
M
L
M
Если предположить, что в обеих урнах одинаковый набор белых и чёрных шаров
(
)
LLLMMM ====
2121
и
, тогда
приходим к любопытному результату
(
)
LMBP /=
. Дело в том, что вероятность извлечения белого шара из второй урны до
перекладывания в неё шара из первой урны тоже равна
LM /
. Этот результат нетрудно обосновать, однако, мы этого делать
не будем.
Рассмотрим одно интересное применение формулы полной вероятности. Если в выражении для условной вероятности
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
mk
BP
ABPAP
BP
BAP
BAP
kkk
k
,,2,1
|
| K===
заменить вероятность
(
)
BP
по формуле полной вероятности (4.10.2), то получим
формулу
Байеса
( )
(
)
(
)
( ) ( )
.
|
|
|
1
∑
=
=
m
i
ii
kk
k
ABPAP
ABPAP
BAP
(4.10.4)
Эта формула применяется для вычисления условных вероятностей
(
)
BAP
k
|
гипотез
k
A
после испытания, в котором произош-
ло событие
В
. Иными словами, формула Байеса позволяет дать переоценку по результатам проведённого испытания
априор
-
ных
вероятностей
(
)
k
AP
, которые были предварительно известны до испытания.
Пример
10
. Вернёмся к примеру 9 и пусть нам известно, что из второй урны извлечён белый шар. Вычислим условную
вероятность гипотезы
1
A
при этом условии, т.е. вероятность того, что из первой урны переложили во вторую белый шар,
зная наперёд, что вынутый из второй урны шар также белый. По формуле Байеса, учитывая равенство (4.10.3), находим
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )
.
1
1|
|
11221
2111
1
MLMMM
MM
BP
ABPAP
BAP
−++
+
==
Если предположить, как в примере 9, что в обеих урнах содержатся одинаковые наборы белых и чёрных шаров, то снова
приходим к интересному результату
(
)
(
)
(
)
1/1|
1
++= LMBAP
.
4.11. СХЕМА БЕРНУЛЛИ
Пусть происходят
n
независимых
испытаний, в каждом из которых может появиться событие
А
с вероятностью
р
или
противоположное событие
A
с вероятностью
pq
−
=
1
.
Если
в
определённом
испытании
появляется
событие
А
,
то
принято
говорить
об
«
успехе
»,
в
противном
случае
–
о
«
неудаче
».
Описанная
схема
независимых
испытаний
называется
схемой
Бер
-
нулли
.
В
качестве
пространства
элементарных
событий
{
}
ω=Ω
удобно
принять
множество
всех
возможных
цепочек
из
нулей
и
единиц
,
т
.
е
.
(
)
n
ααα=ω ,,,
21
K
,
где
0=α
i
или
1,
ni ,,2,1 K
=
.
Ясно
,
что
число
успехов
(
число
единиц
)
в
цепочке
(
)
n
ααα ,,,
21
K
равно
сумме
n
α++α+α K
21
.
Это
позволяет
в
силу
независимости
испытаний
представить
элементарное
событие
ω
в
виде
произведения
n
независимых
событий
,
каждое
из
которых
есть
результат
соответствующего
испытания
,
и
,
применяя
правило
умножения
вероятностей
(4.9.5),
получить
формулу
для
элементарных
вероятностей
:
(
)
(
)
.
2121 nn
n
qpp
α++α+α−α++α+α
=ω
KK
(4.11.1)
Пусть
в
n
испытаниях
наступили
ровно
m
успехов
.
Обозначим
это
событие
через
m
B
и
с
учётом
наших
обозначений
пред
-
ставим
его
в
виде
(
)
{
}
.:,,,
2121
mB
nnm
=α++α+αααα= KK
Теорема
1
.
Вероятность
того
,
что
в
n
испытаниях
схемы
Бернулли
наступили
m
успехов
определяется
формулой
(
)
(
)
,
mnmm
nnm
qpCmPBP
−
==
(4.11.2)
где
p
и
pq
−
=
1
–
вероятности
успеха
и
неудачи
в
отдельном
испытании
.
Согласно
формуле
(4.11.1)
для
любого
элементарного
события
m
B∈ω
имеем
(
)
mnm
qpp
−
=ω
.
Для
того
,
чтобы
опре
-

Страницы