Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Некоторые переменные величины могут принимать в результате испытания определённые значения из возможного
множества своих значений в зависимости от случая. Например, число выпавших на игральной кости очков, число бракован-
ных изделий в партии, продолжительность работы прибора до первой поломки и т.д. Приведённая в главе 4 трактовка ос-
новных понятий теории вероятностей позволяет дать следующее определение.
Случайной величиной Х
называется функция, заданная в пространстве элементарных событий, т.е.
)(
ω
=
fX
,
Ω
∈
ω
.
Например
,
если
случайная
величина
Х
–
количество
выпавших
на
игральной
кости
очков
,
то
пространство
элементар
-
ных
событий
{
}
654321
,,,,, ωωωωωω=Ω
,
где
i
ω
–
событие
,
состоящее
в
выпадении
i
очков
.
Тогда
)6,1()( K==ω iiX
i
.
Случайная
величина
называется
дискретной
,
если
множество
её
значений
конечно
или
счётно
.
Рассмотренная
выше
случайная
величина
является
дискретной
,
так
как
множество
её
значений
{
}
6,5,4,3,2,1
является
конечным
.
Приведём
пример
дискретной
случайной
величины
с
бесконечным
множеством
значений
.
Пусть
Х
–
число
вы
-
стрелов
из
артиллерийского
орудия
до
первого
попадания
в
цель
.
Пространство
элементарных
событий
{
}
,...,...,,,
21 i
www=Ω
где
w
i
состоит
в
том
,
что
на
поражение
цели
потребуется
i
выстрелов
.
Тогда
)()(
NiiX
i
∈=ω
,
т
.
е
.
множество
возможных
значений
данной
случайной
величины
является
натуральным
рядом
чисел
,
и
,
следовательно
,
счётно
.
Пусть
случайная
величина
Х
–
интервал
времени
между
приходом
на
остановку
автобусов
.
Множество
возможных
зна
-
чений
этой
случайной
величины
–
полупрямая
[
)
∞+;0
,
следовательно
,
данная
случайная
величина
не
является
дискретной
.
Следует
понимать
,
что
для
задания
случайной
величины
недостаточно
знать
только
множество
её
возможных
значений
.
Случайные
величины
могут
иметь
одинаковое
множество
значений
,
но
принимать
эти
значения
с
различными
вероятностя
-
ми
.
Поэтому
для
полного
описания
случайной
величины
требуется
задать
её
закон
распределения
.
Законом распределения
случайной
величины
называется
всякое
соотношение
,
устанавливающее
связь
между
возмож
-
ными
значениями
случайной
величины
и
соответствующими
им
вероятностями
.
Простейшей
формой
заданий
закона
распределения
дискретной
случайной
величины
является
таблица
,
в
которой
пере
-
числены
в
порядке
возрастания
все
возможные
значения
случайной
величины
Х
и
соответствующие
им
вероятности
.
Х x
1
x
2
… x
i
… x
n
P p
1
p
2
… p
i
… p
n
Такая
таблица
(
она
может
содержать
и
бесконечное
число
столбцов
)
называется
рядом распределения
дискретной
слу
-
чайной
величины
.
Так
как
в
таблице
перечислены
все
возможные
значения
случайной
величины
,
и
события
1
xX =
,
2
xX =
,
...,
n
xX =
являются
несовместными
,
то
сумма
их
вероятностей
равна
1:
∑
=
=
n
i
i
p
1
1
.
Если
множество
возможных
значений
дискретной
случайной
величины
Х
счётно
,
то
ряд
∑
∞
=1i
i
p
сходится
и
его
сумма
равна
1.
Использование
для
описания
случайной
величины
ряда
распределения
не
является
единственно
возможным
,
а
главное
,
не
является
универсальным
.
Если
множество
значений
случайной
величины
представляет
собой
отрезок
или
прямую
,
то
нельзя
перечислить
всё
бесконечное
несчётное
множество
её
значений
.
Поэтому
для
описания
закона
распределения
можно
применить
и
другой
подход
:
рассматривать
не
вероятности
события
xX
=
,
как
это
имеет
место
в
ряде
распределения
,
а
ве
-
роятности
события
xX
<
,
где
х –
некоторое
действительное
число
.
Очевидно
,
что
эта
вероятность
)( xXP
<
зависит
от
х
,
т
.
е
.
является
функцией
от
х
.
Обычно
её
обозначают
)(xF
.
Функцией распределения
называют
функцию
)(xF
,
определяющую
для
каждого
х
вероятность
того
,
что
в
результате
испытания
случайная
величина
Х
примет
значение
меньшее
,
чем
х
:
).()( xXPxF
<
=
(5.1.1)
Функцию
)(xF
также
называют
интегральной
функцией
распределения
.
Геометрически
она
интерпретируется
как
ве
-
роятность
того
,
что
случайная
величина
примет
значение
,
лежащее
на
числовой
прямой
левее
заданной
точки
х
.
Пример 1
.
Дан
ряд
распределения
дискретной
случайной
величины
Х
:
Х
1
3 5 7
P
0,2
0,5 0,2 0,1
Построим
её
функцию
распределения
.
Для
этого
будем
рассматривать
различные
значения
х
и
находить
для
них
).()( xXPxF
<
=
1.
Если
1
≤
x
,
то
.0)(
=
xF
2.
Если
31
≤
<
x
,
то
2,0)1()()( ===<= XPxXPxF
.
3.
Если
53
≤
<
x
,
то
.7,05,02,0)3()1()()( =+==+==<= XPXPxXPxF
4.
Если
75
≤
<
x
,
то
=
=
+
=
+
=
=
<
=
)5()3()1()()( XPXPXPxXPxF
.9,02,05,02,0
=
+
+
=
5.
Если
7
>
x
,
то
=
=
+
=
+
=
+
=
=
<
=
)7()5()3()1()()( XPXPXPXPxXPxF
.11,02,05,02,0
=
+
+
+
=
Итак, аналитически функция распределения может быть записана в виде

Страницы