Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

>
≤<
≤<
≤<
≤
=
.7при1
;75при9,0
;53при7,0
;31при2,0
;1при0
)(
х
х
х
х
х
xF
Изобразим функцию
)(xF
(
рис
. 5.1.1)
графически
.
Заметим
,
что
эта
функция
является
непрерывной
слева
(
сохраняет
свои
значения
,
если
х
стремится
к
точке
разрыва
слева
).
Рис. 5.1.1
Рассмотренный пример позволяет сформулировать
свойство
: функция рас-
пределения дискретной случайной величины является разрывной ступенчатой
функцией, имеющей скачки в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины. Значения скачков равны вероятностям этих значений, а
сумма всех скачков равна 1. Рассмотрим общие свойства функции распреде-
ления.
1.
Значения
функции
распределения
принадлежат
отрезку
[
]
1,0
:
.1)(0
≤
≤
xF
>
Утверждение
следует
из
определения
функции
распределения
как
вероятности
.
<
2.
Функция
распределения
является
неубывающей
,
т
.
е
.
)()(
12
xFxF ≥
при
12
xx >
.
>
Пусть
12
xx >
.
Событие
,
состоящее
в
том
,
что
Х
примет
значение
,
меньшее
чем
2
x
,
можно
представить
в
виде
сум
-
мы
двух
несовместных
событий
:
1
( xX <
)
и
)(
21
xXx <≤
.
По
аксиоме
аддитивности
имеем
)()()(
2112
xXxPxXPxXP <≤+<=<
или
)()()(
2112
xXxPxFxF <≤+=
. (5.1.2)
Так
как
0)(
21
≥<≤ xXxP
,
то
)()(
12
xFxF ≥
.
<
3.
Вероятность
того
,
что
случайная
величина
примет
значение
,
заключённое
в
интервале
[
)
21
, xx
,
равна
приращению
функции
распределения
на
этом
интервале
:
)()()(
1221
xFxFxXxP −=<≤
.
>
Утверждение
следует
из
формулы
(5.1.2).
<
4.
Для
рассматриваемых
в
данном
пособии
дискретных
и
непрерывных
случайных
величин
имеет
место
соотношение
0)(lim)( ==−∞
−∞→
xFF
x
,
1)(lim)( ==∞
∞→
xFF
x
.
>
0)()(
=
−∞
<
=
−∞
XPF
как
вероятность
невозможного
события
−∞
<
X
,
а
1)()(
=
∞
<
=
∞
XPF
как
вероятность
достоверного
события
∞
<
.
<
5.
Если
все
возможные
значения
случайной
величины
Х
принадлежат
отрезку
[
]
ba
,
,
то
: 1)
0)(
=
xF
при
ax
≤
; 2)
1)(
=
xF
при
bx
>
.
>
1)
Пусть
ax
≤
.
Тогда
0)()(
=
<
=
xXPxF
как
вероятность
невозможного
события
.
2)
Пусть
bx
>
.
Тогда
1)()(
=
<
=
xXPxF
как
вероятность
достоверного
события
.
<
5.2.
НЕПРЕРЫВНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ
.
ПЛОТНОСТЬ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НЕПРЕРЫВНОЙ
СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Рассмотрим
более
подробно
случайные
величины
,
множеством
значений
которых
является
либо
прямая
);(
∞−∞
,
либо
луч
);(
a−∞
,
либо
луч
);(
∞
a
,
либо
интервал
),(
ba
(
интервалы
и
лучи
могут
также
быть
замкнутыми
).
В
качестве
примеров
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

Страницы