Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал
);(
21
xx
равна определённому интегралу от её
плотности в пределах от
1
x
до
2
x
:
∫
=<<
2
1
)()(
21
x
x
dxxfxXxP
. (5.2.1)
>
По
свойству 3
функции распределения
=<≤ )(
21
xXxP
)()(
12
xFxF
−=
. Так как
)(xF
является
первообразной
для
плотности
вероятности
)(xf
,
то
по
формуле
Ньютона
-
Лейбница
∫
=−
2
1
)()()(
12
x
x
dxxfxFxF
.
Остаётся
отметить
,
что
по
след
-
ствию
из
теоремы
1
вероятность
попадания
непрерывной
случайной
величины
в
интервал
не
зависит
от
того
,
замкнутый
это
интервал
или
открытый
.
Следовательно
,
формула
(5.2.1)
доказана
.
<
3.
Функция
распределения
непрерывной
случайной
величины
может
быть
выражена
через
плотность
распределения
по
формуле
∫
∞−
=
x
dttfxF )()(
. (5.2.2)
>
Полагая
в
формуле
(5.2.1)
−∞
=
a
и
xb
=
,
получим
∫
∞−
=<<−∞
x
dttfxXP )()(
.
Учитывая
,
что
)()()(
xFxXPxXP
=
<
=
<
<
−∞
,
получим
формулу
(5.2.2).
<
4.
Несобственный
интеграл
в
бесконечных
пределах
от
плотности
распределения
вероятности
равен
единице
:
∫
+∞
∞−
= 1)( dttf
. (5.2.3)
>
Из
формулы
(5.2.2)
при
+∞
→
x
получим
∫
+∞
∞−
=∞
dttfF
)()(
.
Учитывая
,
что
1)(
=
∞
F
,
получим
формулу
(5.2.3).
<
Геометрически
последнее
свойство
означает
,
что
площадь
криволинейной
трапеции
,
ограниченной
осью
O
х
и
кри
-
вой
распределения
,
равна
единице
.
5.3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ
НАД
СЛУЧАЙНЫМИ
ВЕЛИЧИНАМИ
Используя
введённое
в
параграфе
4.9
понятие
независимости
случайных
событий
,
введём
понятие
независимости
слу
-
чайных
величин
.
Две
случайные
величины
называются
независимыми
,
если
закон
распределения
одной
из
них
не
зависит
от
того
,
какие
возможные
значения
приняла
другая
величина
.
Несколько
случайных
величин
называются
взаимно
независимыми
,
если
за
-
коны
распределения
любого
числа
из
них
не
зависят
от
того
,
какие
возможные
значения
приняли
остальные
величины
.
Так
,
если
дискретная
случайная
величина
Х
может
принимать
значения
x
i
(
i =
1, …,
n
),
а
дискретная
случайная
величина
Y
–
значения
y
j
(
j
= 1, …,
m
),
то
независимость
случайных
величин
X
и
Y
означает
,
что
независимыми
являются
события
)(
i
xX =
и
(
j
yY =
)
для
любых
i =
1, …,
n
и
j
= 1, …,
m
.
В
общем
случае
вводят
совместную
функцию
распределения
),(
yxF
,
определяемую
равенством
)()(),(
yYxXPyxF <⋅<=
. (5.3.1)
Геометрически
функция
распределения
),(
yxF
означает
вероятность
попадания
случайной
точки
(
Х
,
Y
)
в
бесконечный
квадрант
,
лежащий
левее
и
ниже
точки
M
(
x
,
y
) (
рис
. 5.3.1).
Если
случайные
величины
Х
и
Y
являются
непрерывными
,
то
вводят
совместную
плотность
вероятности
случайных
величин
:
).,(
),(
),(
2
yxF
yx
yxF
yxf
xy
′′
=
∂∂
∂
=
(5.3.2)

Страницы