Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

можно привести случайную величину
Х
– продолжительность работы прибора до первой поломки, случайную величину
Х
–
расстояние, которое пролетает артиллерийский снаряд и т.д.
Случайная величина, имеющая бесконечное несчётное множество значений называется
непрерывной
, если её функция
распределения непрерывна и кусочно-дифференцируема.
Учитывая, что для непрерывных случайных величин имеют место все свойства 1 – 5 из параграфа 5.1, можно предста-
вить, как выглядит график функции распределения непрерывных случайных величин (рис. 5.2.1). График расположен в по-
лосе, ограниченной прямыми
0
=
y
и
1
=
y
,
и
является
гладким
,
за
исключением
некоторых
точек
излома
.
Рис. 5.2.1
Теорема 1
.
Вероятность
того
,
что
непрерывная
случайная
величина
примет
одно
определенное
значение
,
равна
нулю
.
>
Воспользуемся
формулой
(5.1.2),
положив
в
ней
xxx ∆+=
12
,
получаем
)()()(
11111
xFxxFxxXxP −∆+=∆+<≤
.
Устремляя
x
∆
к
нулю
и
учитывая
непрерывность
функции
)(xF
,
получим
=∆+<≤==
→∆
)(lim)(
11
0
1
xxXxPxXP
x
.0)()())()((lim
1111
0
=−=−∆+
→∆
xFxFxFxxF
x
<
Таким образом, для непрерывных случайных величин не имеет смысла го-
ворить о вероятности того, что случайная величина примет одно отдельно взятое
значение – вероятность этого события равна нулю. Для непрерывных случайных
величин следует рассматривать вероятность попадания случайной величины в
какой-либо интервал, даже сколь угодно малый. Например, ищут вероятность
того, что прочность материала не выходит за заданные границы, но не ставят
вопрос о вероятности того, что прочность равна некоторому определённому зна-
чению.
Следствие 1
.
Если
Х
–
непрерывная
случайная
величина
,
то
вероятность
её
попадания
в
интервал
21
;( xx
)
не
зависит
от
того
,
является
ли
этот
интервал
открытым
или
закрытым
,
т
.
е
.
)()()()(
21212121
xXxPxXxPxXxPxXxP <<=<≤=≤<=≤≤
.
>
==+≤<=≤≤ )()()(
12121
xXPxXxPxXxP
)(0)(
2121
xXxPxXxP ≤<=+≤<=
.
Аналогично
доказываются
и
другие
равенства
.
<
Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распреде-
ления не является единственным. Её можно также задать, используя другую
функцию, которую называют плотностью распределения, или дифференциаль-
ной функцией распределения.
Плотностью распределения вероятности
(
или
плотностью вероятности
)
непрерывной
случайной
величины
Х
называет
-
ся
производная
от
её
функции
распределения
:
)()( xFxf
′
=
.
График
плотности
распределения
называется
кривой распределения
.
Плотность
распределения
вероятности
)(xf
является
одной
из
форм
закона
распределения
,
но
для
описания
дискретных
случайных
величин
она
неприменима
.
Из
определения
следует
:
x
xxXxP
x
xFxxF
xf
xx
∆
∆
+
<
<
=
∆
−
∆
+
=
→∆→∆
)(
lim
)()(
lim)(
00
,
т
.
е
.
плотность
вероятности
можно
определить
как
предел
вероятности
попадания
случайной
величины
в
интервал
xxx ∆+;(
),
делённой
на
длину
этого
интервала
(
т
.
е
.
вероятность
,
приходящуюся
на
единицу
длины
),
при
стремлении
длины
интервала
к
нулю
.
Приведём
основные
свойства плотности распределения вероятности
.
1.
Плотность
вероятности
–
неотрицательная
функция
,
т
.
е
.
0)(
≥
xf
.
>
Функция
распределения
–
неубывающая
функция
,
следовательно
,
её
производная
неотрицательна
.
<

Страницы