Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 5.3.1
Если случайные величины
Х
и
Y
независимы, то согласно определению, события
xX
<
(
)
и
(
yY
<
)
являются
незави
-
симыми
,
следовательно
,
их
совместная
функция
распределения
равна
произведению
функций
распределения
этих
случай
-
ных
величин
:
(
)
)()()()()()(),(
21
yFxFyYPxXPyYxXPyxF =<⋅<=<⋅<=
.
Если
равенство
)()(),(
21
yFxFyxF =
не
вы
-
полняется
,
то
случайные
величины
являются
зависимыми
.
Определим
математические
операции
над
случайными
величинами
.
Ограничимся
здесь
случаем
дискретных
случайных
величин
.
Пусть
дискретная
случайная
величина
Х
задана
законом
распределения
:
Х x
1
x
2
… x
i
… x
n
P p
1
p
2
… p
i
… p
n
Функцией
f
(
Х
)
от
случайной
величины
Х
называется
случайная
величина
,
которая
принимает
значения
f
(
х
i
)
с
вероятно
-
стями
p
i
(
i
= 1, …,
n
).
В
частности
,
квадратом
случайной
величины
Х
2
является
случайная
величина
,
которая
принимает
зна
-
чения
(
х
i
)
2
с
вероятностями
p
i
.
Пусть
также
имеется
случайная
величина
Y
,
заданная
законом
распределения
,
Y y
1
y
2
… y
j
… y
m
P q
1
q
2
… q
j
… q
m
Суммой
(
разностью или произведением
)
случайных
величин
Х
и
Y
называется
случайная
величина
,
которая
принимает
все
возможные
значения
вида
ji
yx +
(
ji
yx −
или
ji
yx ⋅
)
с
вероятностями
(
)
)()(
jiij
yYxXPp =⋅==
,
где
i
= 1, …,
n
;
j
= 1,
…,
m.
Если
случайные
величины
Х
и
Y
независимы
,
то
jijiij
qpyYPxXPp ==⋅== )()(
.
Приведённые
выше
определения
нуждаются
в
уточнении
,
так
как
в
ряде
случаев
одни
и
те
же
значения
f
(
х
i
)
могут
быть
получены
при
разных
х
i
,
а
одинаковые
значения
ji
yx ±
и
ji
yx ⋅
–
при
разных
х
i
и
y
j
.
Пример 2
.
Даны
ряды
распределения
двух
независимых
случайных
величин
:
Х
0
2 4
p
0,3
0,5 0,2
Y
–1
0 1
P
0,4
0,3 0,3
Найдём
закон
распределения
случайной
величины
XY
Z
=
.
Для
этого
составим
вспомогательную
таблицу
,
в
каждой
клетке
которой
поместим
значения
случайной
величины
Z
,
а
в
скобках
–
вероятности
этих
значений
.
j
y
i
x
–1 (0,4) 0 (0,3) 1 (0,3)
0 (0,3) 0 (0,12) 0 (0,09) 0 (0,09)
2 (0,5) –2 (0,20) 0 (0,15) 2 (0,15)
4 (0,2) –4 (0,08) 0 (0,06) 4 (0,06)
Так
как
среди
значений
Z
имеются
одинаковые
(
нули
встречаются
в
6
клетках
таблицы
),
то
соответствующие
вероятности
складываем
по
теореме
сложения
вероятностей
;
поэтому
+== 12,0)0(ZP
51,006,015,009,009,0
=
+
+
+
+
.
В
результате
по
-
лучим
распределение
:
Z
–4
–2 0 2 4
P
0,08
0,20 0,51 0,15 0,06
5.4.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОЖИДАНИЕ
И
ДИСПЕРСИЯ
СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ

Страницы