Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Отклонением
называется разность между случайной величиной и её математическим ожиданием
)(XMX −
. Приведём
важное свойство отклонения.
Теорема 2
. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
[
]
0)( =− XMXM
.
>
Воспользуемся свойствами 1 и 3 математического ожидания (заметим, что
)(XM−
– это постоянная величина):
[
]
[
]
0)()()()()( =−=−+=− XMXMXMMXMXMXM
.
<
Доказанная выше теорема поясняет, что в качестве характеристики рассея-
ния использовать отклонение нельзя – его среднее значение равно нулю, так как
одни возможные значения отклонения положительны, а другие отрицательны.
Поэтому в качестве меры рассеяния используют среднее значение квадрата от-
клонения.
Дисперсией
)(XD
случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения:
[
]
2
)()( XMXMXD −=
. (5.4.9)
Обозначим
)(XMa
=
. Тогда формулу (5.4.9) можно переписать в виде
2
)()( aXMXD −=
и, в зависимости от вида
случайной величины, можно предложить следующие формулы для вычисления дисперсии:
• если
Х
– дискретная случайная величина с конечным множеством значений, то
∑
=
−=
n
i
ii
paxXD
1
2
)()(
;
• если
Х
– дискретная случайная величина со счётным множеством значений, то
∑
∞
=
−=
1
2
)()(
i
ii
paxXD
, если ряд в
правой части равенства сходится ;
• если
Х
– непрерывная случайная величина, то
∫
+∞
∞−
−= dxxfaxXD )()()(
2
, если интеграл в правой части равенства
сходится.
Дисперсия
D
(
X
) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в тех случаях, когда
желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, используют величину
)(XD
.
Среднеквадратическим отклонением
)(X
σ
(стандартным отклонением) случайной величины называется квадратный
корень из дисперсии:
)()( XDX =σ
. (5.4.10)
Приведём основные
свойства
дисперсии случайной величины:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
0)(
=
CD
. (5.4.11)
>
По
свойству
(5.4.5)
математического
ожидания
CCM =)(
.
Следовательно
,
из
определения
дисперсии
имеем
:
[
]
[
]
.0)0()()(
22
==−=−= MCCMCMCMCD
<
2.
Постоянный
множитель
можно
выносить
за
знак
дисперсии
,
возводя
его
при
этом
в
квадрат
:
).()(
2
XDCCXD =
(5.4.12)
>
По
свойству
(5.4.6)
математического
ожидания
множитель
С
можно
выносить
за
знак
математического
ожидания
.
Поэтому
,
используя
определение
дисперсии
,
получим
:
[ ]
=−=
2
)()( CXMCXMCXD
[ ]
( )
[
]
=−=−=
2
2
2
)()( XMXCMXCMCXM
[
]
=−=
2
2
)(XMXMC ).(
2
XDC
<
3.
Дисперсия
случайной
величины
равна
разности
между
математическим
ожиданием
квадрата
случайной
величины
и
квадратом
её
математического
ожидания
:
[
]
.)()()(
2
2
XMXMXD −=
(5.4.13)
>
Обозначим
)(XMa
=
.
Тогда
[
]
=−=
2
)(
aXMXD
[
]
22
2
aaXXM
+−=
.
Учитывая
,
что
a
–
постоянная
величина
,
а
также
используя
свойство
(5.4.7)
математического
ожидания
,
получим
:
222222
)(2)()()(2)()( aXMaaaXMaMXaMXMXD −=+⋅−=+−=
.
<
Дисперсия
суммы
или
разности
взаимно
независимых
случайных
величин
равна
сумме
их
дисперсий
:

Страницы