Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

>
Случайную величину
Х
– количество появлений события
А
в
n
испытаниях – можно представить в виде суммы
n
не-
зависимых случайных величин:
∑
=
=
n
i
i
XX
1
,
где случайная величина
Х
i
– число появлений события
A
в
i
-м испытании ( ni ,1= ). Все случайные величины
Х
i
имеют один
и тот же закон распределения:
Х
i
0
1
p
i
q p
Следовательно, для всех ni ,1= выполнено:
ppqXM
i
=⋅+⋅=
10)(
,
(
)
ppqXM
i
=⋅+⋅=
22
2
10
,
(
)
[ ]
pqppppXMXMXD
iii
=−=−=−=
)1()()(
2
22
.
Тогда, в силу свойства 3 математического ожидания имеем: =
=
∑
=
n
i
i
XMXM
1
)(
∑
=
=
n
i
i
XM
1
)(
∑
=
==
n
i
npp
1
; а в силу свойст-
ва 4 дисперсии имеем: =
=
∑
=
n
i
i
XDXD
1
)(
qnppqXD
n
i
n
i
i
∑∑
==
===
11
)(
.
<
Введём случайную величину
n
X
Z
A
=
, имеющую смысл относительной частоты
n
m
Ah
n
=)(
события
А
.
Следствие
. Математическое ожидание относительной частоты
A
Z
события
А
в
n
независимых испытаниях, в каждом из
которых оно может наступить с вероятностью
p
, равно
p
, т.е.
pZM
A
=)(
, (5.5.4)
а её дисперсия
n
pq
ZD
A
=)(
. (5.5.5)
>
Относительная частота
n
X
n
m
Z
A
==
, где случайная величина
Х
распределена по биномиальному закону. Тогда
;
)(
)( p
n
np
n
XM
ZM
A
===
n
pq
n
npq
n
XD
ZD
A
===
22
)(
)(
.
<
Биномиальный закон распределения широко используется при статистиче-
ском контроле качества продукции, при описании функционирования систем
массового обслуживания, в теории стрельбы и т.д.
5.5.2. Закон распределения Пуассона
В параграфе 4.12 была доказана теорема Пуассона, в которой утверждается, что при достаточно больших
n
, при малых
значениях
p
и при условии, что
np
=
λ
– постоянная величина, хорошим приближением формулы Бернулли является фор-
мула Пуассона (4.12.1).
Определение 2
. Дискретная случайная величина
Х
имеет закон распределения Пуассона с параметром λ, если
!
)(
m
e
mXPp
m
m
λ−
λ
===
(
...,2,1,0
=
m
). (5.5.6)
Как
видим
,
закон
распределения
Пуассона
является
предельным
случаем
(
при
0,
→
∞
→
pn
,
λ
→
np
)
биномиального
закона
.
Так
как
вероятность
появления
события
А
в
каждом
испытании
мала
,
то
закон
Пуассона
называют
законом
редких
явлений
.
По
закону
Пуассона
распределены
,
например
,
число
сбоев
на
автоматической
линии
,
число
бракованных
изделий
в
большой
партии
товара
и
т
.
д
.
Однако
распределение
Пуассона
применяют
и
в
ряде
других
ситуаций
.
Так
,
например
,
число
заявок
на
обслуживание
,
поступивших
в
единицу
времени
в
системах
массового
обслуживания
,
имеет
распределение
Пуас
-
сона
(
где
λ
–
интенсивность
потока
требований
,
т
.
е
.
среднее
число
заявок
в
единицу
времени
).
Приведём ряд распределения закона Пуассона:
Х
0
1 2
… m …
P
λ−
e
λ−
λe
2
2 λ−
λ e
…
!m
e
m λ−
λ
…
Докажем
корректность
определения
закона
Пуассона
.
Для
этого
вычислим
сумму
ряда
:

Страницы