Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑∑∑
∞
=
λλ−
∞
=
λ−
λ−
∞
=
==
λ
=
λ
=
000
1
!!
i
m
i
m
i
i
ee
m
e
m
e
p
(использовали разложение функции
x
e
в ряд Маклорена).
Теорема
4.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона, совпада-
ют и равны параметру λ этого распределения:
,)( λ=XM
(5.5.7)
λ=)(XD
. (5.5.8)
>
Найдём математическое ожидание случайной величины
Х
:
∑∑∑
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
=
−
λ
=
λ
==
100
)!1(!
)(
i
i
i
i
i
ii
i
e
i
e
ipxXM
∑∑
∞
=
λλ−
∞
=
λ−
−
λ−
λ=λ=
λ
λ=
−
λ
λ=
01
1
!)!1(
i
i
i
i
ee
i
e
i
e
.
Для нахождения дисперсии сначала найдём математическое ожидание квадрата случайной величины
Х
:
∑∑∑
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
=
−
λ
=
λ
==
10
2
0
2
2
)!1(!
)(
i
i
i
i
i
ii
i
e
i
i
e
ipxXM
∑∑
∞
=
−
∞
=
λ−λ−
+
−
λ
λ=
−
λ+−
=
2
2
2
1
)!2()!1(
)1)1((
i
i
i
i
i
e
i
i
e
λ+λ=λ+λ=
−
λ
λ+
λλ−λλ−
∞
=
−
λ−
∑
22
1
1
)!1(
eeee
i
e
i
i
.
Далее находим дисперсию
[
]
λ=λ−λ+λ=−=
22
2
2
)()()()( XMXMXD
.
<
5.5.3. Геометрический закон распределения
Пусть случайная величина
Х
представляет собой число испытаний, проведённых по схеме Бернулли, до первого появ-
ления события
А
. В параграфе 4.7 была получена формула для нахождения вероятности
m
p
события
m
ω
, означающего, что
при первых
m –
1 испытаний событие
А
не произошло, а в
m
-м произошло:
pqmXpp
m
m
1
)(
−
===
, (
;1;10 pqp
−
=
<
<
...,2,1
=
m
) (5.5.9)
Определение
3
.
Дискретная
случайная
величина
Х
имеет
геометрическое
распределение
,
если
её
закон
распределения
задаётся
формулой
(5.5.9).
Ряд геометрического распределения имеет вид:
Х
1
2 3
… m …
p p
pq
pq
2
… pq
m
…
Название
распределения
объясняется
тем
,
что
вероятности
p
m
образуют
бесконечную
геометрическую
прогрессию
с
первым
членом
p
и
знаменателем
q
.
Определение
геометрического
распределения
корректно
,
так
как
сумма
ряда
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
==
−
===
01
1
1
1
1
1
j
j
i
i
i
i
p
p
q
pqppqp (
использовали
формулу
для
суммы
бесконечной
геометрической
прогрессии
).
Теорема
5
.
Математическое
ожидание
случайной
величины
Х
,
имеющей
геометрическое
распределение
,
равно
величи
-
не
,
обратной
появлению
события
в
одном
испытании
:
,
1
)(
p
XM =
(5.5.10)
а
её
дисперсия
2
)(
p
q
XD =
. (5.5.11)
>
Найдём
математическое
ожидание
случайной
величины
Х
:
=
====
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
∞
= 11
1
1
)(
i
i
ii
i
i
i
i
ii
q
dq
d
p
dq
dq
pipqpxXM

Страницы