Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5.6. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
5.6.1. Равномерный закон распределения
Определение 1
. Непрерывная случайная величина
Х
имеет равномерный закон распределения на отрезке
[
]
ba,
, если её
плотность вероятности имеет вид:
[ ]
[ ]
∉
∈
−
=
.,при0
,,при
1
)(
bax
bax
ab
xf
(5.6.1)
Докажем, что приведённое определение является корректным, т.е. проверим выполнение свойства 4 плотности распре-
деления (свойство 1, т.е. неотрицательность функции
)(xf
,
очевидно
).
Имеем
:
∫ ∫
+∞
∞−
=
−
−
=
−
=
−
=
b
a
b
a
ab
ab
x
ab
dx
ab
dxxf .1
11
)(
Найдём
функцию
распределения
равномерно
распределённой
случайной
величины
.
Для
этого
воспользуемся
формулой
(5.2.2).
При
ax
≤
функция
распределения
F
(
x
) = 0.
При
bxa ≤<
получим
:
ab
ax
dt
ab
dtxF
x
a
a
−
−
=
−
+=
∫∫
∞−
1
0)(
.
При
bx >
:
.10
1
0)(
=
−
−
=+
−
+=
∫ ∫∫
∞−
ab
ab
dtdt
ab
dtxF
b
a
x
a
a
a
)
б
)
Рис. 5.6.1
На
рис
. 5.6.1 (
а
,
б
)
приведены
графики
плотности
распределения
)(xf
и
функции
распределения
)(
xF
.
Очевидно
,
что
если
случайная
величина
распределена
на
отрезке
[
]
ba
,
равномерно
,
то
её
математическое
ожидание
должно
быть
равно
абсциссе
середины
этого
отрезка
,
дисперсия
же
должна
зависеть
от
длины
отрезка
и
быть
пропорциональна
квадрату
этой
длины
.
Выведем
эти
формулы
,
исходя
из
определения
математического
ожидания
и
дисперсии
.
Теорема
7
.
Если
случайная
величина
Х
распределена
равномерно
на
отрезке
[
]
ba
,
,
то
её
математическое
ожидание
2
)(
ba
XM
+
=
, (5.6.2)
а
дисперсия
12
)(
)(
2
ab
XD
−
=
. (5.6.3)
>
Найдём
математическое
ожидание
случайной
величины
Х
:
2)(22
1
)()(
222
ba
ab
abx
ab
dx
ab
x
dxxxfXM
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
==
∫∫
+∞
∞−
.
Найдём
математическое
ожидание
квадрата
случайной
величины
Х
:
3)(33
1
)()(
223332
22
baba
ab
abx
ab
dx
ab
x
dxxfxXM
b
a
b
a
++
=
−
−
=
−
=
−
==
∫∫
+∞
∞−
.
Далее
находим
дисперсию
:
[ ]
=
+
−
++
=−=
4
)(
3
)()()(
222
2
2
bababa
XMXMXD

Страницы