Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∫∫∫
=−=λ==
λ−
∞→
+∞
λ−
+∞
∞−
A
x
A
x
dexdxexdxxfxXM
0
2
0
222
lim)()(
=
−−=
∫
λ−λ−
∞→
A
x
A
x
A
dxxeex
0
0
2
2lim
2
00
2
21222
0lim
λ
=
λ
⋅
λ
=λ
λ
=
λ
λ
−−−=
∫∫
+∞
λ−λ−
λ
∞→
dxxedxxe
e
A
x
A
x
A
A
(учли то, что несобственный интеграл
dxxe
x
∫
+∞
λ−
λ
0
есть
λ
=
1
)(XM
,
0lim
2
=
λ
∞→
A
A
e
A
).
Далее находим дисперсию:
[ ]
2
2
2
2
2
1
)
1
(
2
)()()(
λ
=
λ
−
λ
=−= XMXMXD
.
<
Из доказанной теоремы следует важное
свойство
показательного распреде-
ления: для случайной величины, распределённой по показательному закону, ма-
тематическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, т.е.
λ
=σ=
1
)()( XXM
.
Показательный закон распределения широко применяется в теории массового обслуживания и в теории надёжности. По-
казательный закон распределения, и только он, обладает важным свойством, называемым отсутствием последействия. Объяс-
ним это свойство на примере.
Пример
3
. Установлено, что время работы прибора до первой поломки является случайной величиной
Т
, распределён-
ной по показательному закону с параметром λ.
Обозначим через
А
случайное событие, заключающееся в том, что прибор будет работать безотказно на интервале
[
]
t,0
.
Вероятность этого события
=
>
=
)()( tTPAP
tt
eetFtTP
λ−λ−
=−−=−=≤− )1(1)(1)(1
.
Далее
обозначим
через
B
случайное
событие
,
заключающееся
в
том
,
что
прибор
будет
безотказно
работать
на
интервале
времени
[
]
τ+tt,
,
а
через
С
–
случайное
событие
,
заключающееся
в
безотказной
работе
прибора
на
интервале
времени
[
]
τ+t,0
.
Такими
же
рассуждениями
,
как
для
события
А
,
можно
получить
,
что
)(
)(
τ+λ−
=
t
eCP
.
Из
определения
случайных
событий
A
,
B
и
С
следует
,
что
ABC
=
.
Тогда
)()()( BPAPCP
A
=
.
Найдём
)(BP
A
,
т
.
е
.
ус
-
ловную
вероятность
того
,
что
прибор
будет
безотказно
работать
на
интервале
[
]
τ+tt,
при
условии
,
что
он
уже
проработал
безотказно
на
интервале
[
]
t,0
:
λτ−
λ−
τ+λ−
=== e
e
e
AP
CP
BP
t
t
A
)(
)(
)(
)(
.
Полученная
формула
не
содержит
t
,
следовательно
,
событие
B
не
зависит
от
A
,
или
,
другими
словами
,
вероятность
без
-
отказной
работы
прибора
на
промежутке
времени
[
]
τ+tt,
зависит
только
от
длины
этого
промежутка
τ
,
и
не
зависит
от
то
-
го
,
сколько
времени
прибор
проработал
до
этого
.
5.6.3. Нормальный закон распределения
Определение 3
.
Непрерывная
случайная
величина
Х
имеет
нормальный
закон
распределения
с
параметрами
a
и
σ
> 0
(
обозначается
σ,a
N
),
если
её
плотность
вероятности
имеет
вид
:
2
2
2
)(
2
1
)(
σ
−
−
πσ
=
ax
exf
. (5.6.7)
Для доказательства корректности определения вспомним значение несобст-
венного интеграла, называемого интегралом Пуассона:
π=
∫
∞+
∞−
−
2
2
2
dze
z
. (5.6.8)
Вычислим
∫∫
∞+
∞−
σ
−
−
∞+
∞−
πσ
= dxedxxf
ax
2
2
2
)(
2
1
)(
.
Введём
новую
переменную
σ
−
=
ax
z
.
Тогда
dzdxzax
σ
=
σ
+
=
,
.
Пределы
ин
-
тегрирования
не
меняются
,
следовательно
,
учитывая
5.6.8,
получим
.12
2
1
2
1
2
1
)(
22
22
=π
π
=
π
=σ
πσ
=
∫∫∫
∞+
∞−
−
∞+
∞−
−
∞+
∞−
dzedzedxxf
zz

Страницы