Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Объясняется это тем, что он является пре-
дельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при типичных условиях. Именно, если случайная
величина
Х
представляет собой сумму большого числа взаимно независимых случайных величин
n
XXX ++= ...
1
, то при
весьма общих условиях закон распределения случайной величины
Х
близок к нормальному. Условиям, при которых возни-
кает нормальный закон распределения, посвящён ряд теорем, называемых
центральной предельной теоремой
. Смысл этих
условий состоит в том, что удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа
слагаемых. Например, если
Х
– производственная погрешность, то на неё влияют множество факторов: погрешность мате-
риала, погрешность станка, инструмента и т.д., причём, если ни одна из этих погрешностей не является определяющей, то
случайная величина
Х
имеет закон распределения, близкий к нормальному.
Теорема
9
. Если случайная величина
Х
имеет нормальный закон распределения
σ
,a
N
, то её математическое ожидание
aXM
=
)(
, (5.6.9)
а
дисперсия
2
)( σ=XD
. (5.6.10)
>
Найдём
математическое
ожидание
случайной
величины
Х
:
=
πσ
==
∫∫
∞+
∞−
σ
−
−
∞+
∞−
dxexdxxxfXM
ax
2
2
2
)(
2
1
)()(
=
σ=σ+=
σ−=
dzdxzax
axz
;
;/)(
∫
∞+
∞−
−
σ
πσ
σ+= dzeza
z
2
2
2
1
)(
∫∫
∞+
∞−
−
∞+
∞−
−
σ
π
+
π
= dzzedze
a
zz
22
22
2
1
2
.
Первый
интеграл
есть
интеграл
Пуассона
,
а
второй
интеграл
равен
нулю
как
интеграл
от
нечётной
функции
по
симметрич
-
ному
отрезку
.
Следовательно
,
.
2
2
)(
aaXM
=
π
π
=
Дисперсия
случайной
величины
Х
:
.
22
2
1
)(
;
;/)(
2
1
)()()()(
2/
2
2/2
2
2/2
2
)(
22
22
2
2
2
∫∫
∫
∫∫
∞+
∞−
−
∞+
∞−
−
∞+
∞−
−
∞+
∞−
σ
−
−
∞+
∞−
π
σ
−=
π
σ
=
=σ
πσ
σ=
σ=σ+=
σ−=
=
=
πσ
−=−=
zz
z
ax
zdedzez
dzez
dzdxzax
axz
dxeaxdxxfaxXD
Применяя
метод
интегрирования
по
частям
,
получим
:
∫
∞
∞−
−
+∞
∞−
−
π
σ
+
π
σ
−= dzezeXD
zz
2
2
2
2
22
22
)(
.
Учитывая
,
что
интеграл
во
втором
слагаемом
есть
интеграл
Пуассона
,
а
0lim
2/
2
=
±∞→
z
z
e
z
,
получим
22
2
2
)( σ=
π
π
σ=
XD
.
<
Теперь
стало
ясно
,
что
обозначения
параметров
а
и
σ
в
определении
нормального
распределения
не
были
случайными
.
Действительно
,
а
является
математически
ожиданием
случайной
величины
,
а
σ
–
средним
квадратическим
отклонением
.
Нормальный
закон
1,0
N
распределения
случайной
величины
Х
с
параметрами
0
=
a
и
1
=
σ
называется
стандартным
или
нормированным
.
а
)
б
)
Рис. 5.6.3
Кривую
нормального
закона
распределения
называют
нормальной
или
гауссовой
кривой
.
На
рис
. 5.6.3 (
а
,
б
)
приведены
графики
нормальной
кривой
с
параметрами
а
и
σ
и
функции
распределения
нормальной
случайной
величины
.
Отметим
,
что
нормальная
кривая
симметрична
относительно
прямой
a
x
=
и
имеет
максимум
в
точке
a
x
=
,
равный
)2/(1 πσ
,
а
также
имеет
точки
перегиба
σ
±
=
ax
с
ординатой
)2/(1
e
πσ
.
πσ 2
1
eπσ 2
1

Страницы