Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

σ
δ
Φ=
σ
δ
−
Φ−
σ
δ
Φ 2
.
<
Применим формулу (5.6.13) при
σ
=
δ
3
. Получим:
9973,0)3(2
3
2)3|(| ≈Φ=
σ
σ
Φ=σ≤− aXP
.
Отсюда вытекает «правило трёх сигм»:
если случайная величина распределена по нормальному закону
,
то практически дос-
товерно
,
что абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квад-
ратического отклонения
.
3. Если случайная величина
Х
1
распределена по нормальному закону с параметрами
a
1
и
1
σ
, а случайная величина
Х
2
распределена по нормальному закону с параметрами
a
2
и
2
σ
, и они независимы, то их сумма
Х
=
Х
1
+
Х
2
также распределена
нормально с параметрами
а
и
σ
, причём
21
aaa +=
,
2
2
2
1
2
σ+σ=σ
.
5.6.4. Распределения некоторых случайных величин, связанных с нормальным
Коротко опишем несколько распределений, связанных с нормальным, кото-
рые будут использованы при изложении математической статистики.
Определение
4
. Распределением
2
χ
(
хи-квадрат
) с
k
степенями свободы называется распределение суммы квадратов
k
независимых случайных величин, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение, т.е.
∑
=
=χ
k
i
i
X
1
22
, (5.6.1)
где
i
X
(
i
= 1, …,
k
) имеет нормальное распределение
1,0
N .
Плотность распределения
2
χ
выражается через так называемую гамма-функцию, и с увеличением числа степеней сво-
боды плотность распределения
2
χ
приближается к нормальному распределению.
Определение
5
. Распределением Стьюдента (
t
-распределением) с
k
степенями свободы называется распределение слу-
чайной величины
k
X
t
/
2
χ
=
, (5.6.2)
где
Х
имеет стандартное нормальное распределение
1,0
N , а
2
χ
– независимая от
Х
случайная величина, имеющая
2
χ
рас-
пределение с
k
степенями свободы.
Кривая распределения Стьюдента симметрична относительно оси ординат. С ростом числа степеней свободы
t
-
распределение приближается к стандартному нормальному. Практически при
k
> 30 считают
t
-распределение приближенно
нормальным.
Определение
6
. Распределением Фишера-Снедекора (
F
-распре-делением) со степенями свободы
k
1
и
k
2
называется рас-
пределение случайной величины
22
2
11
2
/)(
/)(
kk
kk
F
χ
χ
=
, (5.6.3)
где
)(
1
2
kχ
,
)(
2
2
kχ
– независимые случайные величины, имеющие
2
χ
распределение соответственно с
k
1
и
k
2
степенями
свободы.
5.7. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Как уже отмечалось, значения, которые принимает в результате испытания
случайная величина, нельзя предсказать заранее. Однако при некоторых доста-
точно общих условиях, совокупное действие большого числа случайных вели-
чин приводит к результату, почти не зависящему от случая. Под законом боль-
ших чисел понимается ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных усло-
вий устанавливается факт приближения средних значений большого числа слу-
чайных величин к некоторым постоянным. Прежде, чем перейти к этим теоре-
мам, рассмотрим неравенство Чебышёва.
Теорема
1
. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание
)(
XMa
=
и
дисперсию
(
)
XD
,
спра
-
ведливо
неравенство
Чебышёва
:
2
)(
)|(|
ε
≤ε≥−
XD
aXP
, (5.7.1)
где
0
>
ε
.

Страницы