Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Перейдя в неравенстве (5.7.7) к пределу при
∞
→
n
, получим:
1)|(|lim ≥ε<−
∞→
aXP
n
. Наконец, учитывая, что вероятность не
может превышать 1, окончательно можем написать:
1)|(|lim =ε<−
∞→
aXP
n
. Заменяя в последней формуле
Х
и
а
по (5.7.5) и
(5.7.6), получим утверждение теоремы.
<
Подчеркнём смысл теоремы Чебышёва. При большом числе
n
случайных величин
Х
1
, ...,
Х
n
практически достоверно,
что их средняя арифметическая
Х
– величина случайная сколь угодно мало отличается от неслучайной величины
а
, т.е. прак-
тически утрачивает случайный характер.
Следствие
. Пусть
Х
1
, ...,
Х
n
взаимно независимые одинаково распределённые случайные величины. Тогда для любого
0
>
ε
1lim
21
=
ε≤−
+++
∞→
a
n
XXX
P
n
n
K
,
где
),1()( niXMa
i
==
.
>
В данном случае среднее арифметическое математических ожиданий
a
n
aaa
=
+
+
+
K
. Следовательно, из (5.7.4) по-
лучаем требуемое равенство.
<
Из этого следствия ясно виден вероятностный смысл математического ожидания: при большом числе испытаний мате-
матическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
6.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Математическая статистика – это раздел математики, занимающийся система-
тизацией и обработкой результатов опытов и наблюдений, а также построением и
проверкой подходящих математических моделей, опирающихся на теорию веро-
ятностей. В отличие от теории вероятностей, которая изучает случайные явления
на теоретическом уровне, не прибегая к эксперименту, математическая статистика
позволяет находить закономерности в конкретных данных, и идёт от эксперимен-
та (наблюдения) к построению вероятностной модели и её проверке.
Математическая статистика имеет дело со статистическими данными – это
сведения о числе объектов в какой-либо достаточно обширной совокупности,
обладающих теми или иными признаками. При большом числе наблюдений слу-
чайные воздействия на признак в значительной мере нейтрализуются, и полу-
чаемый результат оказывается
предсказуемым (неслучайным). Этот принцип и является основой для практиче-
ского использования статистических методов исследования. По сравнению с ин-
дивидуальным описанием объектов, статистические данные всегда обезличены,
однако они позволяют изучать закономерности массовых явлений, прогнозиро-
вать их характеристики и воздействовать на них.
Широкому внедрению математико-статистических методов обработки данных способствовало появление электронных
вычислительных машин, и, в особенности, персональных компьютеров. Статистические программные пакеты (среди кото-
рых можно выделить отечественные Статистик-консультант, Эвриста, СтатЭксперт и американские StatSoft Statistica,
SysStat, StatGraphics и др.) сделали статистические методы более доступными и наглядными. Они освободили исследователя
от рутинной работы по расчёту характеристик, построению таблиц и графиков, на его долю осталась творческая работа –
постановка задачи и интерпретация результатов.
В практике статистических наблюдений различают два вида обследований:
сплошное
, когда обследуют каждый из объ-
ектов совокупности (например, перепись населения страны), и выборочное, когда исследуется часть объектов (например, для
контроля качества проверяется часть изделий из выпущенной партии). На практике сплошное наблюдение применяют край-
не редко, так как оно требует существенно больших затрат ресурсов по сравнению с выборочным. Кроме того, выборочное
наблюдение является единственно возможным в случаях, когда наблюдаемая совокупность является бесконечной, или в слу-
чае, когда исследование объекта приводит к его уничтожению (например, исследование долговечности работы прибора).
Генеральной совокупностью
называется вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений). Как правило,
изучению подлежит некоторый количественный признак генеральной совокупности. В классической модели он рассматри-
вается как одномерная случайная величина
X
с частично или полностью неизвестной нам функцией распределения вероят-
ностей
)(xF
.
Проведя
n
независимых
испытаний
(
или
измерений
),
получим
набор
случайных
величин
),,,(
21 n
XXX K
,
называемый
выборкой
.
Каждая
из
этих
случайных
величин
i
X
имеет
тот
же
закон
распределения
)(xF
,
что
и
случайная
ве
-
личина
Х
,
В
серии
уже
проведённых
экспериментов
выборка
–
это
набор
чисел
),,,(
11 n
xxx K
.
Однако
,
если
серию
экспери
-
ментов
провести
ещё
раз
,
то
получим
уже
другой
набор
чисел
.
Различные
наблюдаемые
значения
признака
называют
вариан-
тами
(
обозначаем
их
через
х
i
).
Объёмом
совокупности
(
выборочной
или
генеральной
)
называется
число
объектов
в
этой
сово
-
купности
.
Если
объём
генеральной
совокупности
достаточно
велик
,
и
его
дальнейшее
увеличение
не
сказывается
на
резуль
-
татах
обработки
выборки
,
то
допускают
,
что
генеральная
совокупность
состоит
из
бесчисленного
множества
объектов
.
Ме
-

Страницы