Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

тоды математической статистики позволяют по изучению некоторой части генеральной совокупности (выборки) выносить
суждение об её свойствах в целом.
При составлении выборки возможны два способа: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение,
он может быть возвращён либо не возвращен в генеральную совокупность.
Повторной
называют выборку, при которой ото-
бранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной
называют выборку,
при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповтор-
ным случайным отбором. Если генеральная совокупность содержит бесконечное число объектов, а выборка конечна, то раз-
личие между повторной и бесповторной выборкой исчезает.
Для того, чтобы выборка позволяла правильно судить о генеральной совокупности, она должна достаточно хорошо вос-
производить её пропорции. Выборка, обладающая таким свойством, называется
репрезентативной
. В силу закона больших
чисел, если каждый объект выборки будет отобран случайным образом, то выборка будет являться репрезентативной. На
практике случайность отбора достигается тем, что извлечение объектов в выборку проводится путём жеребьёвки или с по-
мощью датчика случайных чисел. Существуют различные методики отбора, которые применяются в зависимости от кон-
кретной ситуации.
6.2. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ И ИХ ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
Рассмотрим произведённую выборку объёма
n
),,,(
21 n
xxx K
. Если среди чисел
i
x
есть одинаковые, то, как правило, их
записывают один раз, и приписывают каждому из них число вхождений в выборку
i
n
, называемое
частотой
, тогда объём
выборки можно определить как
n =
Σ
n
i.
. Отношение частот к объёму выборки
w
i
= n
i
/
n
называют
относительными частота-
ми
. Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания или убывания с соответствующими им частотами (или
относительными частотами) называется
вариационным рядом
.
Пример 1
. В результате 20 испытаний были получены данные (3, 2, 5, 4, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 4, 5, 2, 2, 3, 5, 4). Записать
их в виде вариационного ряда.
Имеем 4 варианты, расположив их в порядке возрастания, получим:
,2
1
=x
,3
2
=x
,4
3
=x
5
4
=x
. Для каждой вариан-
ты определяем частоту
i
n
– количество вхождений в выборку. Получим следующий вариационный ряд:
i
x
2 3 4 5
i
n
3 5 5 7
Вариационный ряд называется
дискретным
, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и
непре-
рывным
, если его значения могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину. Пример дискретного вариа-
ционного ряда – отметки по математике у случайно отобранных студентов курса (пример 1). В качестве примера непрерыв-
ного вариационного ряда можно привести измерение диаметра некоторой детали при статистическом исследовании массо-
вой продукции (пример 2).
При большом числе наблюдений
n
из соображений простоты и наглядности варианты разбивают на отдельные интерва-
лы, т.е. производят их
группировку
. Обычно группировка по интервалам, в каждый из которых попадает не более 15…20 %
значений выборки, оказывается достаточной для полного выявления существенных свойств распределения и надёжного вы-
числения по сгруппированным данным основных характеристик распределения. Согласно формуле Стерджесса (эта формула
не является единственно возможной), рекомендуемое число интервалов
nm lg322,31+=
(округляя сверху до целого, полу-
чим при
n
= 50
m
= 7, при
n
= 100
m
= 8, при
n
= 200
m
= 9). Для интервального вариационного ряда
частотами
n
i
называются
числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала.
Для наглядного изображения интервальных вариационных рядов используют
гистограмму
, представляющую собой
ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака (
x
i
– 1
,
x
i
), и высотами, рав-
ными частотам
n
i
(или относительным частотам
w
i
) интервалов. Гистограмма, составленная на основе группировки с ма-
ленькими интервалами, обычно многовершинная и не отражает наглядно характер распределения, а при слишком крупных
интервалах теряется точность при вычислении характеристик распределения. В качестве примера на рис. 6.2.1,
а
,
б
,
в
приве-
дены гистограммы, распределения 100 диаметров некоторой детали (в мм) при длине интервала группировки 0,5 мм (рис.
6.2.1,
а
), те же данные при длине интервала группировки 1,5 мм (рис. 6.2.1,
б
), и при длине интервала группировки 3 мм (рис.
6.2.1,
в
). Как видим, именно на рис. 6.2.1,
б
), где имеется 8 интервалов группировки, получена наиболее ясная картина харак-
тера распределения наблюдаемой величины.
0
5
10
15
Диаметр в мм
Число деталей
а
)

Страницы