Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис.6.2.2
6.3. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА
Средние величины характеризуют значения признака, вокруг которого кон-
центрируются наблюдения, или, как говорят, центральную тенденцию распреде-
ления. Наиболее распространённой из средних величин является выборочная
средняя, или средняя арифметическая вариационного ряда.
Определение
1
.
Выборочной средней
В
X
называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокуп-
ности:
n
X
X
n
i
i
В
∑
=
=
1
. (6.3.1)
Следует понимать, что до проведения наблюдений, когда заранее неизвестно, какими они будут,
В
X
рассматривается
как случайная величина. После проведения наблюдений, когда получены конкретные значения, выборочная средняя стано-
вится уже неслучайной величиной (числом). В этом случае её обозначают
В
x
. Если все значения
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
признака вы-
борки объёма
n
не повторяются, то
В
x
= (
x
1
+ x
2
+...+ x
n
)/
n.
(6.3.2)
Если же значения признака
x
1
,
x
2
, .
..
,
x
k
имеют соответственно частоты
n
1
,
n
2
, .
..
,
n
k
, причём
n =
∑
i
n
, то
В
x
=(
n
1
x
1
+ n
2
x
2
+
…
+ n
k
x
k
)/
n.
(6.3.3)
Укажем, что для интервального вариационного ряда в качестве значений
x
i
берут середины соответствующих интервалов.
Отметим основные свойства выборочной средней, аналогичные свойствам математического ожидания случайной величины.
1. Выборочная средняя постоянной равна самой этой постоянной.
2. Если все варианты умножить на какую-либо постоянную, то выборочная средняя также должна быть умножена на
эту постоянную:
ВВ
xCCx =
или
n
nx
C
n
nCx
m
i
ii
m
i
ii
∑∑
==
=
11
)(
.
3. Если ко всем вариантам прибавить какую-либо постоянную, то к выборочной средней также должна быть прибавле-
на эта постоянная:
ВВ
xCxC +=+
или
n
nx
C
n
nx
n
n
С
n
nxC
m
i
ii
m
i
ii
m
i
i
m
i
ii
∑∑∑∑
====
+=+=
+
1111
)(
.
В статистическом анализе применяются также и другие средние характеристики, наиболее распространенные из них
– мода и медиана.
Медианой
В
Me вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжи-
рованного ряда наблюдений. Достоинство медианы как меры центральной тенденции состоит в том, что на неё не влияет
изменение крайних членов вариационного ряда. Медиана предпочтительнее выборочной средней для ряда, у которого
крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или чрезмерно малыми.
Модой
B
Mo ва-
риационного ряда называется варианта, которому соответствует наибольшая частота. Отметим, что аналогично выбороч-
ной средней, до проведения наблюдений мода и медиана рассматриваются как случайные величины, а после проведения
испытаний они уже являются неслучайными величинами (числами).
Пример 3
. Вычислить выборочную среднюю для вариационного ряда из примера 1.
Здесь объём выборки
20
=
n . Получаем

Страницы